第二节三角函数的图像与性质。
题型50 已知解析式确定函数性质。
1.（2013江西理11）函数的最小正周期为为。
2.（2013江苏1）函数的最小正周期为。
3.（2014 辽宁理 9）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
a．在区间上单调递减 b．在区间上单调递增。
c．在区间上单调递减 d．在区间上单调递增。
4.（2014 陕西理 2）函数的最小正周期是（ ）
abc. d.
5.（2014 新课标2理14）函数的最大值为。
5.（2014 福建理 16）（本小题满分13分）已知函数。
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间。
6.（2014 湖北理 17）（本小题满分11分）
某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：
1）求实验室这一天的最大温差；
2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
7.(2015安徽)已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
ab. cd.
7.解析因为，所以，所以．
因为当时，取最小值，所以，所以，所以．
当时，即时，取最大值．
下面需判断， ,与最近的最高点处的对称轴的距离，距离越大，相应的函数值越小，如图所示，因为，所以．故选a．
8.（2015四川）下列函数中，最小正周期为且图像关于原点对称的函数是（ ）
a. b.
c. d.
8.解析由，可知选项a，b，c的周期都是，选项d的周期为。
通过化简可得，选项a：，为奇函数；
选项b为：，为偶函数；
选项c为：，为非奇非偶函数。故选a.
9.（2015浙江）函数的最小正周期是 ，单调递减区间是。
9.解析因为，所以。 所以，即。
所以单调递减区间是。
10.（2015北京）已知函数。
1）求的最小正周期；
2）求在区间的最小值。
10.解析 （1）
函数的最小正周期。
2）当时，，，函数在区间。
的最小值为。
11.（2015广东）在平面直角坐标系中，已知向量，1) 若，求的值；
2) 若与的夹角为，求的值。
11.解析 （1）因为，，且，所以，所以，所以．
2）由（1）依题知，所以．又因为，所以，即．
12.（2015天津）已知函数，.
1）求最小正周期；
2）求在区间上的最大值和最小值。
12.分析 (1) 利用两角和与差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化简函数的解析式，由三角函数性质可求最小正周期；(2)先写出函数的单调区间，即可求函数的最大值与最小值。
解析 (1)由已知，有。
所以的最小正周期。
2)解法一：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以在区间上的最大值。
是，最小值是。
解法二：由，得，.
当时，取得最小值，当时，取得最大值为。
13.（2015重庆）已知函数。
1）求的最小正周期和最大值；
2）讨论在上的单调性。
13.解析 （1）
因此的最小正周期为，最大值为。
2）令，，得，所以的单调递增区间为，.
同理，的单调递减区间为，.
故当时，在上单调递增，在上单调递减。
14.（2016山东理7）函数的最小正周期是（ ）
abcd．
14. b解析由。
所以最小正周期是。 故选b.
15.（2016浙江理5）设函数，则的最小正周期（ ）
a.与有关，且与有关b.与有关，但与无关
c.与无关，且与无关d.与无关，但与有关。
解析，的最小正周期为，的最小正周期为。当时，此时的最小正周期是；
当时，此时的最小正周期为。所以影响的最小正周期，而为常数项不影响的最小正周期。故选b.
16．（2016上海理7）方程在区间上的解为。
16．解析由，即，所以，故。
由于，故．17．（2016江苏9）定义在区间上的函数的图像与的图像的交点个数是。
17.解析解法一（图像法）：画出函数图像草图，共个交点．
解法二（解方程）：即解方程，即。
所以或，由．当时，；当时，．
共个根，即共个交点．
18.（2016天津理15）已知函数。
1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性。
18.解析 （1）的定义域为。
所以的最小正周期。
2）令，函数的单调递增区间是。
由，得，.设，，易知。
又，所以当时， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减。
19.（2017全国3理6）设函数，则下列结论错误的是（ ）
a．的一个周期为b．的图像关于直线对称。
c．的一个零点为 d．在上单调递减。
19.解析函数的图像可由向左平移个单位长度得到，由图可知，在上先递减后递增，所以d选项错误。故选d.
题型51 根据条件确定解析式。
1．（2013四川理5）函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
abcd.
2. (2013安徽理16）已知函数的最小正周期为。
1）求的值；
2）讨论在区间上的单调性。
3. (2013福建理20）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
1）求函数与的解析式；
2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数，若不存在，说明理由；
3）求实数与正整数，使得在内恰有个零点。
4.（2014 北京理 14）设函数，（是常数，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为___
5.（2014 大纲理 16）若函数在区间是减函数，则的取值范围是。
6.（2014 江苏理 5）已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是。
7.（2014 山东理 16）（本小题满分12分）已知向量，函数，且的图像过点和点。
1）求的值；
2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间。
8.（2014 重庆理 17）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为。
1）求和的值；
2）若，求的值。
9.（2016全国乙理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
abcd.
解析依题意，可得，，且，即。
故，，即，.当时，.又，因此在上不单调。当时，，且。
又，因此在上单调，则的最大值为9.故选b.
10.（2016浙江理10）已知，则。
10.； 解析。所以。
11．（2016上海理13）设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为。
11．解析当时，若，则；若，则；
当时，若，则；若，则．共组．
评注或者如此考虑，当确定时，也唯一确定，因此有种组合．
12.（2017天津理7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
ab.， c.， d.，12.解析解法一：由题意，其中，所以。又，所以，从而。由，由，得。故选a．
解法二：由，，易知为的一条对称轴，点为的一个零点，则，又因为 ，即。又，且的最小正周期大于，所以，从而，又，所以。故选a.
13.(2017浙江理18)已知函数。
1）求的值；
2）求的最小正周期及单调递增区间。
13.解析 （1）由，，得。
2）由，，得，所以的最小正周期是。
由正弦函数的性质得，解得。
所以的单调递增区间是。
题型52 三角函数的值域（最值)
14．(2013天津理15）已知函数。
1) 求的最小正周期；
(2) 求在区间上的最大值和最小值．
15. (2013陕西理16）已知向量，设函数。
1）求的最小正周期；
2）求在上的最大值和最小值。
16.（2014 天津理 15）已知函数，.
1）求的最小正周期；
2）求在闭区间上的最大值和最小值。
17.（2016江苏14）在锐角三角形中，若，则的最小值是 ．
17.分析求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参．
解析解法一：由 （*
由三角形为锐角三角形，则，.同时除以得．
又，所以．故，不妨设，故，所以当，即时，．此时，解得，，（或，互换），此时均为锐角，满足条件．
解法二：由解法一部分可知，在锐角三角形中，而，即，从而（这个公式课本中作为例题出现要求证明）．
故，整理得，当且仅当，解得（或互换），此时均为锐角，满足条件．
评注从表面此题看似等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用．如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑搭配，则有：解法三：
因为）．最后检验一下是否存在即可．
题型53 三角函数图像变换。
1.（2013湖北理4）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
abcd．
2.（2013山东理5）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
abcd.
3.（2014 浙江理 4）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
三角函数与反三角函数图像性质
三角函数公式和图象总结 与角 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为s k z 弧长公式 end altimg w 85 h 20扇形面积公式 lr altimg w 65 h 43 其中是扇形弧长，是圆的半径。三角函数定义 cos frac,tan frac altimg w 240 h 43 ...
三角函数与反三角函数图像性质
三角函数公式和图象总结 与角 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为s 弧长公式 扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。三角函数定义 其中p是终边上一点，同角三角函数的两个基本关系式 特殊值 诱导公式。辅助角公式。其中，所在的象限与点所在的象限一致。三角函数的图象和性质。的最小正周期为，最大值为...
三角函数 4 3三角函数的图像与性质 学生
响水二中高三数学 理 一轮复习学案第四编三角函数及三角恒等变换主备人张灵芝总第18期。4.3 三角函数的图像与性质。班级姓名等第 基础自测。1.在 0,上递减 以2为周期 是奇函数。写出一个同时满足上述条件的函数 写出一个你认为正确的即可 2.2009 东海高级中学高三调研 将函数y sin的图象先...