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一、选择题。
1．若角α的终边经过点p(1，－2)，则tan 2α的值为。
a．－ b. c. d．－
解析 tan α＝2，tan 2α＝＝
答案 b2．(2014·汉中一测)函数y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)是。
a．奇函数且在上单调递增。
b．奇函数且在上单调递增。
c．偶函数且在上单调递增。
d．偶函数且在上单调递增。
解析 y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函数是偶函数且在上单调递增．
答案 c3．(2013·温岭中学模拟)函数f(x)＝sin xsin的最小正周期为。
a．4π b．2π c．π d.
解析 f(x)＝sin xsin＝sin xcos x＝sin 2x，故最小正周期为t＝＝π
答案 c4．(2014·江西九校联考)要得到函数y＝sin的图像，只要将函数y＝sin 2x的图像。
a．向左平移单位 b．向右平移单位。
c．向右平移单位 d．向左平移单位。
解析 y＝sin 2xy＝sin 2＝sin.
答案 c5．已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的表达式为。
a．f(x)＝2sin
b．f(x)＝2sin
c．f(x)＝2sin
d．f(x)＝2sin
解析由函数的部分图像可知t＝－，则t＝，结合选项知ω>0，故ω＝＝排除c，d；又因为函数图像过点，代入验证可知只有b项满足条件．
答案 b6．(2014·榆林模拟)将函数f(x)＝3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，则y＝g(x)图像的一条对称轴是。
a．x＝ b．x＝
c．x＝ d．x＝
解析将函数f(x)＝3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝3sin，再向右平移个单位长度，得到y＝3sin＝3sin，即g(x)＝3sin.当2x－＝kπ＋时，解得x＝kπ＋，又当k＝0时，x＝，所以x＝是一条对称轴，故选c.
答案 c7．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是。
a.，k∈z
b.，k∈z
c.，k∈z
d.，k∈z
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由题设知f(x)的最小正周期为。
t＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈z)得，kπ－≤x≤kπ＋(k∈z)，故选c.
答案 c8．设函数f(x)＝|sin|，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是。
a．f(x)是偶函数。
b．f(x)的最小正周期为π
c．f(x)的图像关于点对称。
d．f(x)在区间上是增函数。
解析对于选项a，由于f＝|sin|＝0，而f＝＝|sin|＝≠f，所以f(x)不是偶函数；对于选项b，由于f(x)＝sin的周期为π，而f(x)＝的图像是将f(x)＝sin的x轴上方的图像保持不变，x轴下方的图像关于x轴对称到上方去，因此f(x)＝的周期为f(x)＝sin的周期的一半，故选项b不正确；对于选项c，由于f(x)＝的图像不是中心对称图形，因此也不正确；对于选项d，由三角函数的性质可知，f(x)＝的单调递增区间是kπ≤2x＋≤kπ＋(k∈z)，即－≤x≤＋(k∈z)，当k＝1时，x∈，故选d.
答案 d9．(2014·西安模拟)函数y＝cos2的图像沿x轴向右平移a个单位(a＞0)，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为。
a．π b. c. d.
解析 y＝cos2＝＝＝sin 2x，函数图像向右平移a个单位得到函数y＝－sin[2(x－a)]＝sin(2x－2a)，要使函数的图像关于y轴对称，则有－2a＝＋kπ，k∈z，即a＝－－k∈z，所以当k＝－1时，a有最小值为，选d.
答案 d10．已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0，|φ的图像在y轴上的截距为1，在相邻两最值点(x0,2)， x0＞0)上f(x)分别取得最大值和最小值．若函数g(x)＝af(x)＋b的最大值和最小值分别为6和2，则|a|＋b的值为。
a．5 b．6 c．7 d．8
解析由题意知a＝2，＝－x0＝，t＝3，即＝3，又ω＞0，∴ω
f(x)＝2sin，又函数f(x)过点(0,1)，代入得2sin φ＝1，而|φ|f(x)＝2sin，g(x)＝af(x)＋b＝2asin＋b.
由得∴|a|＋b＝5.
答案 a二、填空题。
11．(2013·陕西五校联考)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)(x∈r)的最大值。
解析 y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)
sin(x＋10°)＋cos[(x＋10°)＋30°]
sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)－sin(x＋10°)
sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)
sin(x＋10°＋60°)
sin(x＋70°)，故ymax＝1.
答案 112．如图所示的是函数。
y＝asin(ωx＋φ)图像的一部分，则其函数解析式是___
解析由图像知a＝1，＝－得t＝2π，则ω＝1，所以y＝sin(x＋φ)
由图像过点，可得φ＝2kπ＋(k∈z)，又|φ|所以φ＝，所以所求函数解析式是y＝sin.
答案 y＝sin
13．已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0，|φ的图像与直线。
y＝b(0＜b＜a)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f(x)的单调递增区间是___
解析根据分析可得函数的周期为6，即＝6，得ω＝，由三角函数的对称性可知，函数在x＝3处取得最大值，即asin＝a，即sin φ＝1，所以φ＝2kπ－(k∈z)．又|φ|所以φ＝－故函数的解析式为。
f(x)＝asin，令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈z)，得6k≤x≤6k＋3(k∈z)．故函数f(x)的单调递增区间是[6k,6k＋3](k∈z)．
答案 [6k,6k＋3](k∈z)
14．(2014·宜春模拟)下面有五个命题：
函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.
终边在y轴上的角的集合是。
在同一坐标系中，函数y＝sin x的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．
把函数y＝3sin的图像向右平移个单位得到y＝3sin 2x的图像．
函数y＝sin在(0，π)上是减函数．
其中真命题的序号是___
解析 ①化简得y＝－cos 2x，最小正周期为＝π.真命题．
终边在y轴上的角的集合是，假命题．
在同一坐标系中，函数y＝sin x的图像和函数y＝x的图像，只有一个公共点，假命题．
把函数y＝3sin的图像向右平移个单位得到y＝3sin＝3sin 2x的图像，真命题．
函数y＝sin在(0，π)上是增函数，假命题．
答案 ①④三、解答题。
15．(2013·辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
1)若|a|＝|b|，求x的值；
2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解 (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
sin 2x－cos 2x＋
sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为。
16．(2014·衡水模拟)已知函数f(x)＝1＋sin xcos x.
1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
2)若tan x＝2，求f(x)的值．
解 (1)已知函数可化为f(x)＝1＋sin 2x，所以t＝＝π令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈z)，则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈z)，即函数f(x)的单调递减区间是(k∈z)．
2)由已知f(x)＝，当tan x＝2时，f(x)＝＝
17．(2013·合肥质检)已知函数f(x)＝msin x＋cos x.
1)若m＝2，f(α)求cos α；
2)若f(x)的最小值为－，求f(x)在上的值域．
解 (1)由m＝2，∴f(α)2sin α＋cos α＝又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝或cos α＝1.
2)f(x)＝msin x＋cos x＝sin(x＋φ)m＝1或m＝－3(舍)，f(x)＝sin x＋cos x＝sin.
由x∈，x＋∈，sin∈，所以f(x)的值域为。
18．(2014·江西九校联考)已知m＝(asin x，cos x)，n＝(sin x，bsin x)，其中a，b，x∈r.若f(x)＝m·n满足f＝2，且f(x)的导函数f′(x)的图像关于直线x＝对称．
1)求a，b的值；
2)若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．
解 (1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsin xcos x.
由f＝2，得a＋b＝8. ①
f′(x)＝asin 2x＋bcos 2x，且f′(x)的图像关于直线x＝对称，f′(0)＝f′，b＝a＋b，即b＝a. ②
由①②得，a＝2，b＝2.
2)由(1)得f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x
2sin＋1.
x∈，－2x－≤，sin≤1，0≤2sin＋1≤3，即f(x)∈[0,3]．
又f(x)＋log2k＝0在上有解，即f(x)＝－log2k在上有解，－3≤log2k≤0，解得≤k≤1，即k∈.
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