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一、选择题。
1.若角α的终边经过点p(1,-2),则tan 2α的值为。
a.- b. c. d.-
解析 tan α=2,tan 2α==
答案 b2.(2014·汉中一测)函数y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是。
a.奇函数且在上单调递增。
b.奇函数且在上单调递增。
c.偶函数且在上单调递增。
d.偶函数且在上单调递增。
解析 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,∴函数是偶函数且在上单调递增.
答案 c3.(2013·温岭中学模拟)函数f(x)=sin xsin的最小正周期为。
a.4π b.2π c.π d.
解析 f(x)=sin xsin=sin xcos x=sin 2x,故最小正周期为t==π
答案 c4.(2014·江西九校联考)要得到函数y=sin的图像,只要将函数y=sin 2x的图像。
a.向左平移单位 b.向右平移单位。
c.向右平移单位 d.向左平移单位。
解析 y=sin 2xy=sin 2=sin.
答案 c5.已知f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的表达式为。
a.f(x)=2sin
b.f(x)=2sin
c.f(x)=2sin
d.f(x)=2sin
解析由函数的部分图像可知t=-,则t=,结合选项知ω>0,故ω==排除c,d;又因为函数图像过点,代入验证可知只有b项满足条件.
答案 b6.(2014·榆林模拟)将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,则y=g(x)图像的一条对称轴是。
a.x= b.x=
c.x= d.x=
解析将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=3sin,再向右平移个单位长度,得到y=3sin=3sin,即g(x)=3sin.当2x-=kπ+时,解得x=kπ+,又当k=0时,x=,所以x=是一条对称轴,故选c.
答案 c7.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是。
a.,k∈z
b.,k∈z
c.,k∈z
d.,k∈z
解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,由题设知f(x)的最小正周期为。
t=π,所以ω=2,即f(x)=2sin.由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈z)得,kπ-≤x≤kπ+(k∈z),故选c.
答案 c8.设函数f(x)=|sin|,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是。
a.f(x)是偶函数。
b.f(x)的最小正周期为π
c.f(x)的图像关于点对称。
d.f(x)在区间上是增函数。
解析对于选项a,由于f=|sin|=0,而f==|sin|=≠f,所以f(x)不是偶函数;对于选项b,由于f(x)=sin的周期为π,而f(x)=的图像是将f(x)=sin的x轴上方的图像保持不变,x轴下方的图像关于x轴对称到上方去,因此f(x)=的周期为f(x)=sin的周期的一半,故选项b不正确;对于选项c,由于f(x)=的图像不是中心对称图形,因此也不正确;对于选项d,由三角函数的性质可知,f(x)=的单调递增区间是kπ≤2x+≤kπ+(k∈z),即-≤x≤+(k∈z),当k=1时,x∈,故选d.
答案 d9.(2014·西安模拟)函数y=cos2的图像沿x轴向右平移a个单位(a>0),所得图像关于y轴对称,则a的最小值为。
a.π b. c. d.
解析 y=cos2===sin 2x,函数图像向右平移a个单位得到函数y=-sin[2(x-a)]=sin(2x-2a),要使函数的图像关于y轴对称,则有-2a=+kπ,k∈z,即a=--k∈z,所以当k=-1时,a有最小值为,选d.
答案 d10.已知函数f(x)=asin(ωx+φ)a>0,ω>0,|φ的图像在y轴上的截距为1,在相邻两最值点(x0,2), x0>0)上f(x)分别取得最大值和最小值.若函数g(x)=af(x)+b的最大值和最小值分别为6和2,则|a|+b的值为。
a.5 b.6 c.7 d.8
解析由题意知a=2,=-x0=,t=3,即=3,又ω>0,∴ω
f(x)=2sin,又函数f(x)过点(0,1),代入得2sin φ=1,而|φ|f(x)=2sin,g(x)=af(x)+b=2asin+b.
由得∴|a|+b=5.
答案 a二、填空题。
11.(2013·陕西五校联考)函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°)(x∈r)的最大值。
解析 y=sin(x+10°)+cos(x+40°)
sin(x+10°)+cos[(x+10°)+30°]
sin(x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°)
sin(x+10°)+cos(x+10°)
sin(x+10°+60°)
sin(x+70°),故ymax=1.
答案 112.如图所示的是函数。
y=asin(ωx+φ)图像的一部分,则其函数解析式是___
解析由图像知a=1,=-得t=2π,则ω=1,所以y=sin(x+φ)
由图像过点,可得φ=2kπ+(k∈z),又|φ|所以φ=,所以所求函数解析式是y=sin.
答案 y=sin
13.已知函数f(x)=asin(ωx+φ)a>0,ω>0,|φ的图像与直线。
y=b(0<b<a)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递增区间是___
解析根据分析可得函数的周期为6,即=6,得ω=,由三角函数的对称性可知,函数在x=3处取得最大值,即asin=a,即sin φ=1,所以φ=2kπ-(k∈z).又|φ|所以φ=-故函数的解析式为。
f(x)=asin,令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈z),得6k≤x≤6k+3(k∈z).故函数f(x)的单调递增区间是[6k,6k+3](k∈z).
答案 [6k,6k+3](k∈z)
14.(2014·宜春模拟)下面有五个命题:
函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π.
终边在y轴上的角的集合是。
在同一坐标系中,函数y=sin x的图像和函数y=x的图像有三个公共点.
把函数y=3sin的图像向右平移个单位得到y=3sin 2x的图像.
函数y=sin在(0,π)上是减函数.
其中真命题的序号是___
解析 ①化简得y=-cos 2x,最小正周期为=π.真命题.
终边在y轴上的角的集合是,假命题.
在同一坐标系中,函数y=sin x的图像和函数y=x的图像,只有一个公共点,假命题.
把函数y=3sin的图像向右平移个单位得到y=3sin=3sin 2x的图像,真命题.
函数y=sin在(0,π)上是增函数,假命题.
答案 ①④三、解答题。
15.(2013·辽宁卷)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.
1)若|a|=|b|,求x的值;
2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
解 (1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈,从而sin x=,所以x=.
2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x
sin 2x-cos 2x+
sin+,当x=∈时,sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为。
16.(2014·衡水模拟)已知函数f(x)=1+sin xcos x.
1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
2)若tan x=2,求f(x)的值.
解 (1)已知函数可化为f(x)=1+sin 2x,所以t==π令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈z),则+kπ≤x≤+kπ(k∈z),即函数f(x)的单调递减区间是(k∈z).
2)由已知f(x)=,当tan x=2时,f(x)==
17.(2013·合肥质检)已知函数f(x)=msin x+cos x.
1)若m=2,f(α)求cos α;
2)若f(x)的最小值为-,求f(x)在上的值域.
解 (1)由m=2,∴f(α)2sin α+cos α=又sin2α+cos2α=1,∴cos α=或cos α=1.
2)f(x)=msin x+cos x=sin(x+φ)m=1或m=-3(舍),f(x)=sin x+cos x=sin.
由x∈,x+∈,sin∈,所以f(x)的值域为。
18.(2014·江西九校联考)已知m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中a,b,x∈r.若f(x)=m·n满足f=2,且f(x)的导函数f′(x)的图像关于直线x=对称.
1)求a,b的值;
2)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间上总有实数解,求实数k的取值范围.
解 (1)f(x)=m·n=asin2x+bsin xcos x.
由f=2,得a+b=8. ①
f′(x)=asin 2x+bcos 2x,且f′(x)的图像关于直线x=对称,f′(0)=f′,b=a+b,即b=a. ②
由①②得,a=2,b=2.
2)由(1)得f(x)=1-cos 2x+sin 2x
2sin+1.
x∈,-2x-≤,sin≤1,0≤2sin+1≤3,即f(x)∈[0,3].
又f(x)+log2k=0在上有解,即f(x)=-log2k在上有解,-3≤log2k≤0,解得≤k≤1,即k∈.
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