第34课三角函数的性质。
1.正弦、余弦、正切函数的性质。填表：
2.利用单位圆、三角函数的图像求三角函数的定义域、值域、顶点、零点等等。
3.求三角函数值域的常用方法有：
转化为二次函数；
利用sinx,cosx的有界性；
换元。4.设a>0,ω≠0,则复合函数y=asin(ωx+φ)y=acos(ωx+φ)y=atan(ωx+φ)的最小正周期分别是， ,
使函数值为0的x取值集合分别是， ,
它们的单调增区间当ω>0时分别为：
例1】 已知函数f(x)=log2.
1)求函数的定义域。
2)求满足f(x)=0的x值集合。
3)求函数f(x)的单调减区间。
解前点津】 利用正弦函数模型y=sinz由sinz>0知2kπ【规范解答】 (1)令。
故定义域为，k∈z.
(2)∵f(x)=0,∴sin
或故x的取值集合是。
3)令2kπ,k∈z),故f(x)的单调减区间是，k∈z.
解后归纳】 求复合函数y=asin(ωx+φ)a>0,ω>0)的定义域，零点，单调区间等，基本方法是“转化”，即“转化”为基本函数y=sinx的定义域，零点，单调区间等。
例2】 求函数f(x)=2－2a·sinx－cos2x的最大值和最小值。
解前点津】 先将函数解析式中的三角函数化为同名同角的三角函数，再参照a的取值进行分类讨论，从而求出f(x)的最大值或最小值。
规范解答】 f(x)=2－2a·sinx－cos2x=2－2a·sinx－(1－sin2x)=(sinx－a)2+(1－a2).
若a≥0,则当sinx=－1,f(x)max=2(1+a),a∈［0,1］时，f(x)min=1－a2,a∈(1,+∞时，f(x)min=2－2a;
若a<0,则当sinx=1时，f(x)max=2(1－a),a∈［－1,0］时，f(x)min=1－a2,a∈(－1)时，f(x)min=2+2a.
解后归纳】 将有关复合函数的最值问题转化为二次函数的最值问题之后，要注意“等价性不变”要做到“两看”，一看新元的取值范围(本题中视sinx为新元，其取值范围是［－1,1］)二看二次函数的对称轴所处的位置(本题中对称轴为z=a).
例3】 若cos2θ+2m·sinθ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围。
解前点津】 将原不等式化为：－sin2θ+2m·sinθ－2m－1<0,由于－1≤sinθ≤1,只要求出使函数f(t)=－t2+2tm－2m－1(－1≤t≤1)的最大值小于0的m取值范围即可。
规范解答】 令sinθ=t,则－1≤t≤1要使cos2θ+2m·sinθ－2m－2<0恒成立，设f(t)=－t 2+2m·t－2m－1,则只要f(t)max<0即可(－1≤t≤1).
1)当m<－1时，令t=－1,则f(t)=－t－m)2+m2－2m－1=－2－4m令－2－4m<0得m>－与m<－1相矛盾，舍去。
2)当－1≤m≤1,令t=m时，f(t)取最大值m2－m－1,由m2－m－1<－得：
所以，.(3)当m>1时，令t=1,f(t)取最大值－2它显然小于0.
综上所述知：m的取值范围是(1－,+
解后归纳】 本题主要考查三角函数性质与一元二次不等式的求解。明确题意内涵，才能知晓解不等式何时取交集，何时取并集！
例4】 已知函数f(x)是定义在r上的非零函数，f(0)≠0,且对任意的x,y∈r,满足f(x+y)+f(x－y)=2f(x)·f(y),求证：
1)f(x)是偶函数；
2)若存在正数a,使f=0,则f(x)是周期函数；
3)f(2x)=2［f(x)］2－1.
解前点津】 含有两个变量x,y的抽象函数式，可用“赋值法”转化为一个变量x的函数解析式。
规范解答】 (1)令x=y=0得：2f(0)=2［f(0)］2,又f(0)≠0,∴f(0)=1,∴f(x)+f(－x)=f(0+x)+f(0－x)=2f(x)f(0)=2f(x),∴f(－x)=f(x),∴f(x)是偶函数。
2)∵f(a+x)+f(x)=f=0,f(x+a)=－f(x) f(2a+x)=f［a+(a+x)］=f(a+x)=f(x),∴f(x)是以2a为周期的周期函数。
3)∵f(2x)+1=f(2x)+f(0)=f(x+x)+f(x－x)=2f(x)·f(x),∴f(2x)=2［f(x)］2－1.
解后归纳】 对条件f(x+y)+f(x－y)=2f(x)·f(y)进行开发利用，主要手段是“反复赋值”.
对应训练分阶提升。
一、基础夯实。
1.若f(sinx)=2cosx+1,则f值为。
a.11cd.1±
2.函数y=tan2x·cotx是 (
a.奇函数非偶函数b.偶函数非奇函数。
c.非奇非偶函数d.既奇又偶函数。
3.下列命题中正确的是 (
a.正切函数是其定义域上的增函数。
不是周期函数。
的最小正周期为。
d.既是奇函数又是偶函数。
4.如图所示曲线对应的函数解析式是。
b. c.
d. 5.下列函数中，既在开区间(0,π)内单调增，又以2π为最小正周期的偶函数是。
6.若a为△abc的内角，则sina+cosa的取值范围是。
a.(－1b.(,2cd.［－
为奇函数，当x>0时，函数y=sin2x－3x3,那么当x<0时，有。
8.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tan(ωx),(0为常数)相交的相邻两点间的距离是。
abcd.与a值有关。
9.已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)和y=2的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是。
a.2b.4c.2d.4π
10.设f(x)的定义域为r且最小正周期为π的函数，并且当0≤x≤π时，f(x)=sinx,当－πa.0b.1cd.－
二、思维激活。
11.已知0≤x≤,则函数f(x)=3sin的最大值为。
12.函数y=cos的单调减区间是。
13.函数y=5sin2x+sinx·cosx+6cos2x+m的最大值为1，则m
14.当，则y=的最大值是最小值是。
三、能力提高。
15.已知x∈,求函数y=(sinx+1)·(cosx+1)的最大值和最小值。
16.比较下列各组中各个值的大小：
1)sin和cos5;
2)sin,tan,以及sin.
17.已知函数f(x)=2cosx·sinsin2x+sinxcosx.
1)求函数f(x)的最小正周期；
2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值；
3)若当x∈时，f(x)的反函数为f －1(x),求f －1(1)的值。
第5课三角函数的性质习题解答。
∵sinx=,∴x=kπ+(1)k·.
由sinx·cos2x=0sinx=0或cos2x=0x=kπ或2x=kπ+即x=函数的定义域为故任取x∈定义域必有(－x)∈定义域。
令f(x)=tan2x·cotx则f(－x)=f(x).
逐一检验。将图像下移一个单位知y=sin2x.
三角函数性质
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