三角函数的性质讲义。
一、【知识要点】
1、 图象和性质图表解。
二、【知识应用】
一）、求定义域。
例1．求函数的定义域。
解：(1) 解不等式组。
∴ 函数定义域是。
二）．利用三角函数的性质比较大小。
例1、(2008天津文)设、、，则（ ）
a． b． c． d．
解：由，因为，所以，故选d．
点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，］，的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。
三）．复合型三角函数图像的识别。
例2、(2008山东文、理)函数其中的图象是（ ）
解： （是偶函数，可排除b、d，由的值域可以确定。因此本题应选a.
四）、求值域、最值。
1、利用三角函数的有界性求值域。
1、形如y=asinx+bcosx+c型引入辅助角公式化为sin(x+φ)c再求值域。
例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+)的值域。
解：f(x)=2sinx+cosx－sinx=（2－）sinx+cosx，故f(x)∈[
2、形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型通过降幂转化为asinx+bcosx再求值域。
例2、f(x)=2asinx·cosx-2asin2x+1（a>0）的值域。
解：f(x)= asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+)-a+1
a>0，sin(2x+)-a+1 ∴f(x)∈[3a，a+1]
2、用换元法化为二次函数求值域。
1、形如y=sin2x+bsinx+c型令sinx=t转化为二次函数再求值域。
例3、k<-4，求y=cos2x+k(cosx-1)的值域。
解：y=2cos2x-1+kcosx-k y=2cos2x+kcosx-k-1，设t=cosx，t∈[-1,1]
则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=－，由于k<-4，则－>1，故当t=1时，ymin=1，当t=－1时，ymax=1－2k，即y∈[1,1-2k]
2、形如y=asinx·cosx+b（sinx±cosx）+c，换元令sinx±cosx=t
转化为二次函数在上的值域问题。
例4、求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的值域。
解：令sinx+cosx=t，t∈，则sinxcosx=，y=+t= (t+1)2-1
当t=－1时，ymin=－1，当t=时，ymax=+，即y∈[-1， +
3、考察结构特征，用分离常数法求值域。
形如y=型，可用分离常数法转化为y=a+再求值域。
例5、求函数y=的值域。
解：y= ∵1≤cosx≤1且cosx≠，≤或≥2，故y∈
4、反函数思想求值域。
形如y=可用反函数思想转化为f(y)sin(x+φ)g(y)求值域。
例6、求y=的值域。
解：由y=得2ysinx-3y=3cosx-2
2ysinx-3cosx=3y-2，·sin(x+φ)3y-2sin (x+φ)由|sin(x+φ)1得||≤1,即y∈
5、化为一元二次方程用判别式求值域。
形如y=也可用判别式求值域。
例7、求函数y=的值域。
解： =设t=tan
则y=yt2-2t+3y=0，当y=0时，t=0适合，当y≠0时，由△=4-12y2≥0
故y∈6、根据代数函数的单调性求值域。
形如y=asint+，令sint=x，根据函数y=ax+的单调性求值域。
例8、θ∈0,π)则函数y=sinθ+的值域为。
分析：设x=sinθ，则x∈，即y=x+, x∈,由图象得，当x=1时，ymin=3，故y∈
例2．求函数的值域。
法一：， 又∵ －1≤sinx≤1， ∴3≤sinx－2≤－1,
∴ 函数的值域为。
法二：由解得， ∵1≤sinx≤1, ∴解得， ∴函数的值域为。
2， (全国高考试题)当时，函数的 (
a、最大值是l，最小值是－1 b、最大值是l，最小值是－2
c、最大值是2，最小值是－2 d、最大值是2，最小值是－1
解：。 1≤f(x)≤2，应选d。
3，(上海高考试题)函数f(x)＝3sinx·cosx－4cos2x 的最大值为___
解： .评注：本题注重考查形如f(x)＝asinx+bcosx 的最值：
五）求三角函数的周期。
例3，已知函数，（1）求该函数的最小正周期；
2）求函数的最小值及相应的x的集合。
变式训练〗1， (上海高考试题)函数y＝2sinxcosx－2sin2x+l的最小正周期是。
解： 2，下列函数是否是周期函数？并求其最小正周期。
六）、考查函数的单调性
例4 (上海高考试题)函数的单调减区间是___
解：令。 则y＝2sinu的单调减区间为，即，又因为，令k＝－1，得所求单调减区间是。
变式训练〗1，求函数的单调递减区间。
七）三角函数的奇偶性。
例5，判断函数的奇偶性。
八）、函数的对称性
例6(全国高考试题)关于函数，有下列命题：
(1)y＝f(x)的表达式可改写为；
(2)y＝f(x)是以为最小正周期的周期函数；
(3)y＝f(x)的图象关于点对称；
(4)y＝f(x)的图象关于直线对称．
其中正确的命题的序号是___注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
解： 由上式知(1)正确．，知(2)错误．
∴f(x)的图象关于直线对称，但f(x)图象不关于点对称，故(3)错误，(4)正确，所以填(1)、(4)．
例7 (全国高考试题)如果函数y＝sin2x+acos2x 的图象关于直线对称，那么a＝(
a. b. c.1 d.-1
解：函数 y＝sin2x+acos2x 的图象关于直线对称，表明当时，函数取得最大值，或取得最小值－，所以， 即， 故应选d．
九）、考查函数的图象变换
例8 (全国高考试题)已知函数 。
(1)当y取得最大值时，求自变量x取值的集合；
(2)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(1)
y取最大值当且仅当，k∈z, 即 k∈z, 所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为。
2)变换的步骤：把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数的图象，令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，经过这样的变换就得到函数的图象．
（十）、考查函数的解析式
例10 (全国高考试题)如图1，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数。
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)由图1，这段时间的最大温差是30-10＝20(℃)
(2)图中从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，
∴ ，解得。
由图示，，
这时。 将x＝6，y＝10代入上式，可得。 故所求的解析式为：
(x∈[6,14])
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