1.3.2 三角函数的图像与性质。
1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）
1）在直角坐标系的轴上任取一点o1，以o1为圆心作单位圆，从⊙o1与x轴的交点a起，把⊙o1分成12等份，过⊙o1上各点作x轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；
2）把轴上这一段分成12等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；
3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。
因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图象。
2．余弦函数的图象。
由于，所以余弦函数，与函数，是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移个单位得到，即：
3．五点法作图。
4．正弦、余弦函数的定义域、值域。
5．正切函数的定义域是什么。
6．正切函数是不是周期函数？， 是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
7．作， 的图象。
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”。
3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
8．正切函数的性质。
1）定义域：；
2）值域：r
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
3）周期性：；
4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
例1：求下列函数的定义域：
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
例3：求下列函数的值域：
例4：求函数的值域。
例5：求函数的值域。
例6：求函数的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。
例7：求函数的值域。
例8：如图，有一快以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？
例9：已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数的最大值和最小值。
例10：已知函数的定义域是，值域是，求常数．
例11：求下列函数的周期：（12）
例12：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
例13：用图象求函数的定义域。
例14．“”是“”的条件。
例15．与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
例16．函数的定义域是。
例17．函数的值域是（ ）
例18．函数的奇偶性是周期是。
1.3.3 函数的图象。
1．型函数的图象。
一般地，函数， 的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，，的值域是，最大值为，最小值为．
2．型函数的图象。
一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。
3．型的函数图象。
一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位而得到。
4．的物理意义。
当，（其中，）表示一个振动量时，表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率。称为相位，时的相位称为初相。
5．图象的变换。
一般地，函数，的图象（其中，）的图象，可看作由下面的方法得到：
把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；
②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；
再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
例1 画出函数，，，的简图。
例2 画出函数，，，的函数简图。
例3 画出函数，，，的简图。
例4 画出函数的简图。
1.3.4 函数的解析式。
1．根据函数图象求解析式。
例1：已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。
2．由已知条件求解析式。
例2： 已知函数（，，的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。
例3：已知函数（，，的最大值为，最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式。
例1解： （1）， 2），
例2解：（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数， 取得最大值的的集合，所以，函数，的最大值是．
2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的的集合是，由，得，即：使函数，取得最大值的的集合是，函数的最大值是．
例3解：（1）∵，所以，值域为．
2解得， 所以，值域为．
例4解： ，所以，函数的值域是．
例5解： ，所以，函数的值域为．
例6解： 令，则，∴（当，即或（）时，当，即（）时，．
例7解：令，则，又∵，∴当时，，当时，所以，函数的值域为．
例8解：设，则，，∴当取得最大值时，取得最大值，此时，答：、应该选在离点处，才能使矩形的面积最大，最大面积为．
例9解：（）
当时，， 当时，，
由①②得，∴，所以，当时，，当时，．
例10解：
若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，，解得：，若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，，解得：， 所以，或．
例11（1） 答：。（2）答：。的周期．
例12解：由得，所求定义域为，值域为r，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。将图象向右平移个单位，得到的图象；再将。
的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。
例13解：由得，利用图象知，所求定义域为，亦可利用单位圆求解。
例14既不充分也不必要
例15 d 例16例17 例18奇函数。
例1解：先画出它们在上的图象，再向左右扩展，由图可知，对于同一个，，的图象上的点的纵坐标等于，的图象上的点的纵坐标的倍，因此，，的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到的。，的图象的情况也类似：
纵坐标变为原来的（横坐标不变情况下）。
例2解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，例3解：由函数图象的平移知：
，的图象可看作，的图象向左平移个单位得到；，的图象可看作，的图象向右平移个单位得到。可得图象如下：
例4解：函数的周期为，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：
函数的图象可看作由下面的方法得到的：
①图象上所有点向左平移个单位，得到的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
问题：以上步骤能否变换次序？
所以，函数的图象还可看作由下面的方法得到的：
①图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象；②再把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象；③再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
例1解：由图知：函数最大值为，最小值为，又∵，∴由图知∴，∴又∵，
∴图象上最高点为，∴，即，可取，所以，函数的一个解析式为．
例2解：由题意。
又∵图象经过点， ∴即，又∵， 所以，函数的解析式为．
例3 解： ，又∵， 又∵图象过点，∴，又∵，∴或，所以，函数解析式为或．
一般的最常用公式有：
sin(a+b)=sina*cosb+sinb*cosa
sin(a-b)=sina*cosb-sinb*cosa
cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb
cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)
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