第十三讲三角函数的图象与性质（基础篇）
1 正弦函数、余弦函数的图象。
本节重点把握内容：
1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程，提高动手能力；
2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用；
3、三角函数图象和图象的应用；
本节重点：1． 正弦函数（或余弦函数）的概念。
任意给定一个实数，有唯一确定的值（或）与之对应，由这个对应法则所确定的函数（或）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为。
2． 正弦曲线或余弦曲线。
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做和。
3． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
1）正弦函数的图象中，五个关键点是。
2）余弦函数的图象中，五个关键点是。
4.正弦函数、余弦函数。
知识回顾：1、函数的定义域为值域为。
2、函数的定义域为值域为。
典型例题讲解：
例1】 作出函数在上的图像；
变式训练】；
例2】已知，解不等式；
变式】已知，解不等式；
例3】求下列函数的值域：
变式】求函数的值域；
例4】（1）讨论方程解的个数；
2）若函数与直线有且仅有两个不同的交点，求的取值范围；
变式】当为何值时，方程有一解、三解、四解？
过手训练。1、在同一坐标系内的函数与的图象的交点坐标是 （
ab cd
2、下面有四个判断：
作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与轴上的单位长可以不一致；
的图象关于成中心对称；
的图象关于直线成轴对称；
正、余弦函数的图象不超过两直线所夹的范围。
其中正确的有 （
a 1个 b 2个 c 3个 d 4个。
3、与图中曲线对应的函数是。
a b c d
4、在内，使成立的的取值范围是（ ）
a b c d
2 正、余弦函数的性质（一）
重点把握：1、理解周期和周期函数的概念，掌握正弦函数、余弦函数的周期性；
2、掌握证明或求解函数周期的基本方法；
3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质，培养数形结合的能力；
4、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性；
5、通过正余弦函数的图象来理解性质，培养数形结合的能力；
6、体会正余弦函数的有界性，并根据此性质来解决一些最值有关的问题；
本节重点一：
自主预习。1． 周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有：
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。若函数的周期为，则也是的周期。即。
2． 正弦函数是周期函数，它的周期是最小正周期是。
3． 正弦函数是周期函数，它的周期是最小正周期是。
4． 函数（其中为常数，且）是周期函数，它的最小正周期。
5． 函数（其中为常数，且）是周期函数，它的最小正周期。
课堂演练：1、函数的最小正周期为。
2、函数的最小正周期为。
重点二：1． 奇偶性。
1） 正弦函数的奇偶性：如果点是函数的图象上任意一点，那么与它关于原点对称的点也在函数的图象上，这时我们说函数是___函数。即：若则称函数为奇函数。
2） 余弦函数的奇偶性：如果点是函数的图象上任意一点，那么与它关于轴对称的点也在函数的图象上，这时我们说函数是___函数。即：若则称函数为偶函数。
2． 单调性。
1） 正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从。
增大到；在每一上闭区间上都是减函数，其值从减小到。
2） 余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从。
增大到。在每一个闭区间上都是减函数，其值从减小到。
3． 对称轴、对称中心。
正弦曲线的对称轴为对称中心为。
余弦曲线的对称轴为对称中心为。
预习检测。1、函数的单调递增区间为。
2、比较大小：；
3、函数的奇偶性为 （
a 奇函数 b 偶函数 c 既奇又偶函数 d 非奇非偶函数。
典型例题：例1】（1）下列函数中，周期为的是 （
a b c d
（2）函数（）的周期为。
变式】1）函数的最小正周期是。
abcd 2）函数的周期是。
例2】 作出下列函数的图象，并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数，说出其最小正周期。
变式】 求函数的最小正周期；
例3】判断下列函数的奇偶性。
变式】例4】求函数的对称轴方程；
变式】若的图象关于直线对称，求的值；
例5】求下列函数的单调区间：（1）；（2）
变式】求函数的单调区间；
例6】求下列函数的值域：（1）；（2）
变式】若的值域是，求的值；
过手训练。1、设函数，则是 （
a 最小正周期为的奇函数b 最小正周期为的偶函数。
c 最小正周期为的奇函数d 最小正周期为的偶函数。
2、作出函数的图象，并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数，说出其最小正周期。
3、同时具有以下性质：“函数的最小正周期是；函数图象关于直线对称；在上是增函数”的一个函数是 （
a b c d
4、（1）函数在 （
a 上是增函数b 上是减函数
c 上是减函数d上是减函数
2）的奇偶性为 （
a 奇函数 b 偶函数 c 非奇非偶函数 d 既奇又偶函数。
5、已知函数的图象关于直线对称，则可能是（ ）
abcd 6、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象 （
a 关于直线对称 b 关于点对称
c 关于点对称d 关于直线对称。
3正切函数的性质与图象。
重点把握：1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质。
2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。
3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用。
本节重点一：
1．正切函数的定义域是。
2．回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是周期函数吗？如果是，那么最小正周期是。
3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是 (奇、偶)函数；
4．正切函数在每个开区间内均为增函数；
预习检测：1．函数的定义域是。
2．函数的最小正周期是。
3. 比较大小。
典型例题：例1】求函数的定义域；
变式】求函数的定义域；
例2】若，求函数的最值及相应的的值；
变式】函数的值域为。
例3】作出函数在一个周期内的图象；
变式】作出函数在区间内的大致图象；
例4】（1）求函数的周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小；
变式】是否存在实数，且，使得函数在上是单调递增的？若存在，求出的一个值；若不存在说明理由；
例5】（1）求函数的定义域；
2）画出函数的简图，并根据图象写出其最小正周期和单调区间；
变式】利用正切函数的图象解不等式。
过手训练。1、与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
2、函数的定义域是。
3、函数的最大值是。
4、已知函数在内是减函数，则的取值范围是。
5、函数的单调递增区间是。
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