3-3.三角函数的图像与性质。
知识要点】1．函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质．
2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝asin(ωx＋)(a＞0，ω＞0)的简图．
3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y＝asin(ωx＋)(0)的最小正周期：；y＝atan(ωx＋)(0)的最小正周期：．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．
例题分析】例1 求下列函数的定义域。
例2 求下列函数的最小正周期。
4)y＝2sin2x＋2sinxcosx；(5)y＝｜sinx｜．
例3 (1)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈r，则f(x)是( )
a．最小正周期为π的奇函数 b．最小正周期为π的偶函数。
c．最小正周期为的奇函数 d．最小正周期为的偶函数。
2)若函数f(x)＝2sin(2x＋)为r上的奇函数，则＝__
3)函数的图象( )
例4 求下列函数的单调增区间。
例5 求下列函数的值域。
1)函数的最大值以及此时x的取值集合。
34)y＝cos2x－2sinx
例6 函数y＝sin(ωx＋)的图象(部分)如图所示，则ω和的取值是( )
a． b．
c． d．
解：，即，所以，当时，，所以，选c
例7 (1)将函数的图象如何变换可得到函数的图象。
2)已知函数y＝sinx的图象，将它怎样变换，可得到函数的图象。
例8 (1)函数的一条对称轴方程为( )
a． b． c． d．
2)求函数的对称轴方程和对称中心的坐标。
例9.（2011）已知函数。
（ⅰ）求的最小正周期：
（ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
例10. 已知函数的最小正周期为π．
1)求ω的值．
2)求f(x)在区间上的值域．
3)画出函数y＝2f(x)－1在一个周期[0，π]上的简图．
4)若直线y＝a与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a的取值范围．
例已知函数。
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的最大值和最小值。
练习3－3一、选择题。
1．设函数x∈r，则f(x)是( ）
a．最小正周期为π的奇函数 b．最小正周期为π的偶函数。
c．最小正周期为的奇函数 d．最小正周期为的偶函数。
2．把函数y＝sinx(x∈r)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
a． b．
c． d．
3．函数的图象( )
a．关于点(，0)对称 b．关于直线对称。
c．关于点(，0)对称 d．关于直线对称。
4．函数y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在区间内的图象大致是( ）
二、填空题。
5．函数的最大值是___
6．函数的最小正周期为___
7．函数的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y＝__
8．函数y＝cos2x＋cosx的值域为___
三、解答题。
9．已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈r．
ⅰ)求函数f(x)的对称轴的方程；
ⅱ)求函数f(x)的单调减区间．
10．已知函数。
ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及最值；
ⅱ)令，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
11．已知，a为常数)，且满足条件f(x1)＝f(x2)＝0的｜x1－x2｜的最小值为．
ⅰ)求ω的值；
ⅱ)若f(x)在上的最大值与最小值之和为3，求a的值．
3－4 解三角形。
知识要点】1．三角形内角和为a＋b＋c＝π，注意与诱导公式相结合的问题．
2．正弦定理和余弦定理。
正弦定理：，(r为△abc外接圆的半径)．
余弦定理：.
a2＝b2＋c2－2bccosa；b2＝a2＋c2－2accosb；c2＝a2＋b2－2abcosc．
3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：
底×高。absin
4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．
复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；
2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题．
例题分析】例1 (1)在△abc中，，b＝1，b＝30°，则角a等于( )
a．60° b．30° c．120° d．60°或120°
2)△abc中，内角a，b，c所对的边分别为a、b、c，满足等式(a＋b)2＝ab＋c2，则角c的大小为___
3)在△abc中，若sina∶sinb∶sinc＝5∶7∶8，则∠b的大小是___
4)在△abc中，若，c＝150°，bc＝1，则ab＝__
例2 (1)在△abc中，acosa＝bcosb，则△abc一定是( )
a．直角三角形 b．等边三角形。
c．等腰三角形 d．等腰三角形或直角三角形。
2)在△abc中，2sinb·sinc＝1＋cosa，则△abc的形状为( )
a．直角三角形 b．等边三角形。
c．等腰三角形 d．等腰直角三角形。
例3 已知△abc的周长为，且sina＋sinb＝sinc
1)求边ab的长；
2)若△abc的面积为，求角c的度数．
例4.在△中，已知．
ⅰ）求角的值；
ⅱ）若，，求△的面积．
例5 在△abc中，内角a，b，c对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，．
ⅰ)若△abc的面积等于，求a，b；
ⅱ)若sinc＋sin(b－a)＝2sin2a，求△abc的面积．
例6.在中，角a，b，c所对应的边分别为。
（ⅰ）求角c的大小；
（ⅱ）求的最大值．
例7.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示。
ⅰ）求，，的值；
ⅱ）已知在函数图象上的三点的横坐标分别为，求的值。
例8.已知向量，，，设函数。
ⅰ)求函数的值域；
ⅱ)已知的三个内角分别为、、，若，求边长的值。
例9.如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．
ⅰ）若，求；
ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△
的面积为，△的面积为．若，求角的值．
例10. 如图，测量河对岸的塔高ab时，可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，现测得∠bcd＝α，bdc＝β，cd＝s，并在点c测得塔顶a的仰角为θ，求塔高ab．
练习3－4一、选择题。
1．在△abc中，若a∶b∶c＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(
a．1∶2∶3 b． c．1∶4∶9 d．
2．在△abc中，角a、b、c的对边分别为a，b，c，，b＝1，则c＝(
a．1 b．2 c． d．
3．△abc中，若a＝2bcosc，则△abc的形状一定为( )
a．等边三角形 b．直角三角形 c．等腰三角形 d．等腰直角三角形。
4．△abc的三内角a，b，c的对边边长分别为abc，若，a＝2b，则cosb＝(
a． b． c． d．
二、填空题。
5．在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，则a＝
6．在△abc中，角abc的对边分别为a、b、c，若，则角b的值为___
7．设△abc的内角，则2sinbcosc－sin(b－c)的值为___
8．在三角形abc中，∠a、∠b、∠c的对边分别为a、b、c，若bcosc＝(2a－c)cosb，则∠b的大小为___
三、解答题。
9．在△abc中，.
ⅰ)求角c的大小；
ⅱ)若ab的边长为，求边bc的边长．
10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形aoc．小区的两个出入口设置在点a及点c处，小区里有两条笔直的小路ad，dc，且拐弯处的转角为120°．已知某人从c沿cd走到d用了10分钟，从d沿da走到a用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
求该扇形的半径oa的长(精确到1米)．
11.在三角形abc中，，求三角形abc的面积s．
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