三角函数的图像和性质

高考目标与要求：

1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数理解三角函数，，的性质，进一步学会研究并会应用形如函数的性质；

2.了解函数的实际意义，能用五点法画出的图像；

3.理解三角函数图像的变换：平移变换、对称变换和伸缩变换．

4.在解题中体现化归、数形结合的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．

教学重点：三角函数的图像与性质。

教学难点：三角函数的单调区间五点法作图三角函数图像的变换三角函数性质的应用。

课时数：2教学过程：

知识归纳。1．有向线段：一条与坐标轴平行的线段可以规定两种相反的方向，若线段的方向与坐标轴的一致，就规定这条线段是正的，否则，就规定它是负的．

2．三角函数线。

设角α的终边与单位圆交于点p，过p点作pm⊥x轴于m，过点a(1,0)作单位圆的切线，与角α的终边或终边的反向延长线相交于点t，则有向线段分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

3．“五点法”作y＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0)的简图。

五点的取法是：设x＝ωx＋φ，由x取值来求相应的x值及对应的y值，再描点作图．

4．图象变换：函数y＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：

1)相位变换：y＝sinx―→y＝sin(x＋φ)把y＝sinx图象上所有的点向 (φ0)或向0)平行移动|φ|个单位．

2)周期变换：y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标 (0＜ω＜1)或1)到原来的倍(纵坐标不变)．

3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)y＝asin(ωx＋φ)把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标 (a＞1)或 (0＜a＜1)到原来的a倍(横坐标不变，相位变换见平移变换)，周期变换和振幅变换都是伸缩变换．

5．当函数y＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0，x∈(－表示一个振动量时，则a叫做振幅，t＝2π／ω叫做周期，f＝1／t叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．函数y＝acos(ωx＋φ)0)的周期为 .函数y＝atan(ωx＋φ)0)的周期为

6．正弦曲线y＝sinx的对称轴为对称中心为。

余弦曲线y＝cosx的对称轴为对称中心为。

函数y＝tanx图象的对称中心为0)(k∈z)．

7.三角函数的图象与性质。

见走向高考p48表。

误区警示。1.注意画出正余弦函数在某闭区间内的图象时，所取点必须在闭区间内，且必须列出区间的两端点．

2．在既有平移变换、又有伸缩变换的三角函数图象变换问题中，应特别注意先平移再伸缩和先伸缩再平移时平移单位数的区别．

3．伸缩变换中应该乘以1m而不是m(m是伸缩的倍数)，牢记无论平移还是伸缩，都仅对坐标进行变换．

4．函数y＝sinx在[2kπ－π2，2kπ＋π2]，(k∈z)的每一个区间上都是增函数，但在k取不同值时，对应的两个区间的并集上不单调．y＝cosx，y＝tanx都有类似特点．

如函数y＝tanx在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？

5．函数y＝sinx、y＝cosx的图象的对称轴经过图象的最高点或最低点．

6．y＝asin(ωx＋φ)的单调区间的确定：

1)当a>0，ω>0时，由于u＝ωx＋φ是增函数，故y＝asinu单增(减)时，复合函数y＝asin(ωx＋φ)单增(减)．从而解不等式2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈z)求出x的取值范围，即该函数的增区间，解不等式2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈z)可得该函数的单调减区间(2)当a>0，ω<0时，∵u＝ωx＋φ为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样a<0，ω<0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行．余弦、正切函数都有类似情形．

一般地，求y＝asin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω<0，先用诱导公式化x的系数为正，然后利用复合函数判单调性的方法，解关于ωx＋φ的一个不等式即可求得．

二、典型例题。

一)三角函数图像的变换。

例1] 要得到函数y＝2cosx的图象，只需将函数y＝sin2x＋cos2x的图象上所有点的( )

a．横坐标缩短到原来的1／2(纵坐标不变)，再向右平行移动π／8个单位长度。

b．横坐标缩短到原来的1／2(纵坐标不变)，再向左平行移动π／4个单位长度c．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π／4个单位长度。

d．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π／8个单位长度要得到函数y＝－2sinx的图象，只需将函数y＝2cos2x＋π4的图象上所有点的。

a．横坐标缩短到原来的1／2(纵坐标不变)，再向右平行移动π／8个单位长度。

b．横坐标缩短到原来的1／2(纵坐标不变)，再向左平行移动π／4个单位长度。

c．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π／4个单位长度。

d．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π／8个单位长度。

二）根据函数图像求函数y＝asin(ωx＋φ)的解析式。

例2] 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示，则ω和φ的取值是。

a．ω＝1，φ＝3b．ω＝1，φ＝3

c．ω＝12，φ＝6d．ω＝12，φ＝6．

练习： 1. 下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )

a．y＝sin(x＋π／6b．y＝sin(2x－π／6)

c．y＝cos(4x－π／3d．y＝cos(2x－π／6) (2010安徽马鞍山二中)函数f(x)＝asin(ωx＋φ)b的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋…f(2009)的值为( )

a．2008 b.40172 c．2009d.40192

2°求ω，分析图象找出其周期t(或t2，或t4)，用t＝2π|ω求ω.

通常情况下，都有a>0，ω>0的条件．

3°代入点的坐标求φ，若代入的点为对称中心时，最后一定要检验．

点评：1.像本题这种三角函数的图象和性质类的题目常常可以采用双管齐下的方法进行探索．

2．一般地，由y＝asin(ωx＋φ)k(或y＝acos(ωx＋φ)k)的图象求解析式基本步骤是：

1°看k是否为0，k＝0时直接从图象的最高(低)点得到a；k≠0时，|a|＝1／2(最大值－最小值)，k＝最大值－|a|，一般情况下不考查k≠0的情形．

三）五点法做图。

例3] 已知a＝(2cosx，cos2x)，b＝(sinx，－)f(x)＝a·b.

1)求它的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象；

2)说明它可以由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到．

总结评述：用“五点法”作图应抓住四条：①化为y＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0)或y＝acos(ωx＋φ)a＞0，ω＞0)的形式；②求出周期t＝；求出振幅a；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．

练习f(x)＝cos(ωx＋φ)0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f（π／4）＝32.

1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；

3)若f(x)>22，求x的取值范围．

四）三角函数的定义域值域。

例习题见走向高考p50例及变式

五）三角函数的性质。

例习题见走向高考p51例及变式

三、课堂小结。

四、课后强化作业。

三角函数的图像和性质

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