三角函数性质运用

三角函数之性质运用。

一、单选题（共10题；共20分）

1.已知函数f（x）= 的图象与g（x）的图象关于直线x= 对称，则g（x）的图象的一个对称中心为。

a.（ 0）b.（ 0）c.（ 0）d.（ 0）

2.函数f（x）=asin（ωx+φ）满足：f（ +x）=﹣f（ ﹣x），且f（ +x）=f（ ﹣x），则ω的一个可能取值是。

a.2b.3c.4d.5

4.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）0）图象的两条相邻的对称轴的距离为．若角φ的终边经过点p（1，﹣2），则f（）等于。

d.﹣ 5.若（a为实常数）在区间上的最小值为-4，则a的值为。

a.-6b.4c.-3d.-4

7.已知函数在上是减函数，则的取值范围。

二、填空题（共5题；共6分）

11.(2015·上海）已知函数f(x)=sinx．若存在x1 ， x2 ， x3 ， xm满足0≤x112.在平面直角坐标系xoy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）的最小正周期为___在一个最小正周期长的区间上的图象与函数的图象所围成的封闭图形的面积是。

13.已知函数f（x）=asin（ωx+θ）b的部分图象如图，其中ω＞0，|θa，b分别是△abc的角a，b所对的边，cosc=+1，则△abc的面积s=__

14.在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y= 的交点的个数是。

答案解析部分。

一、单选题。

1.【答案】c

考点】二倍角的正弦，正弦函数的图象

解析】【解答】解：∵函数f（x）= 的图象与g（x）的图象关于直线x= 对称，设p（x，y）为函数g（x）图象上的任意一点，则p关于直线x= 的对称点p′（ x，y）在f（x）图象上，满足y=f（ ﹣x）= 2cos2x，可得：g（x）=2cos2x，由2x=kπ+ k∈z，解得x= +k∈z，当k=0时，则g（x）的图象的对称中心为（，0）．

故选：c．分析】由已知利用函数的对称性可求g（x），进而利用余弦函数的图象和性质即可得解．

2.【答案】b

考点】正弦函数的图象

解析】【解答】解：函数f（x）=asin（ωx+φ）满足：f（ +x）=﹣f（ ﹣x），所以函数f（x）的图象关于（，0）对称，又f（ +x）=f（ ﹣x），所以函数f（x）的图象关于x= 对称；

所以 = k∈z，所以t= ，即 = 解得ω=3（2k﹣1），k∈z；

当k=1时，ω=3，所以ω的一个可能取值是3．

故选：b．分析】根据题意，得出函数f（x）的图象关于（，0）对称，也关于x= 对称；由此求出函数的周期t的可能取值，从而得出ω的可能取值．

3.【答案】b

考点】正弦函数的图象

解析】【解答】解：∵f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，fmax（x）=f（）1，且（，1）为f（x）在第一象限内的第一个最高点，sin =1， =2．

故选b．分析】由单调区间可知f（）1．

4.【答案】a

考点】正弦函数的图象

解析】【解答】解：∵f（x）的图象的两条相邻的对称轴的距离为．

f（x）的周期t=2× =解得ω=3．

角φ的终边经过点p（1，﹣2），φ为第四象限角，且sinφ=

f（）sin（7π+φsin（π+sinφ=

故选：a．分析】有条件得出f（x）的周期和φ的正弦，代入数值计算即可．

5.【答案】d

考点】三角函数的最值

解析】【分析】利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用x的范围，求得2x+ 的范围，然后利用正弦函数的单调性求得函数最小值的表达式，求得a．

解答】f（x)=2cos2x+sin2x+a

cos2x+1+sin2x+a=2sin(2x+)+a+1．

x∈[0，]，2x∈[0，π]2x+∈[sin(2x+)∈1]．

f(x)min=2×(-a+1=-4，即a=-4．

故选d．6.【答案】c

考点】正弦函数的图象，余弦函数的图象

解析】【解答】解：已知ω＞0，在函数y=sinωx与y=cosωx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为半个周期 =1，则ω=π故选：c．

分析】根据函数y=sinωx与y=cosωx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为半个周期，求得ω的值．

7.【答案】c

考点】正弦函数的单调性

解析】【解答】∵x∈， 0，∴ωx+∈[

函数f(x)=sin(ωx+)在上单调递减，∴周期t=≥，解得ω≤4,f(x)=sin(ωx+)的减区间满足：

2kπ＜ωx+＜+2kπ，k∈z,∴取k=0，得+,+解之得。

故选c.分析】中档题，对正弦型函数的研究，注意将看作一个整体。

8.【答案】a

考点】利用导数研究函数的单调性，正弦函数的单调性

解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ ）f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+ ）2cos（2x+ ）

sin（2x+ +2 sin（2x+ ）由2kπ+ 2x+ ≤2kπ+ k∈z，可得：kπ+ x≤kπ+ k∈z，所以函数的一个单调减区间为：[

故选：a．分析】求出函数的导数，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数的单调性求解函数的求解函数单调减区间．

9.【答案】d

考点】正弦函数的定义域和值域

解析】【解答】,因为在中，所以。故d正确。

分析】三角形面积及正弦函数的值域。

10.【答案】b

考点】余弦函数的图象

解析】【解答】解：，不妨设x= ，则 sin = cos = tan = cos ＜sin ＜tan ，即cosα＜sinα＜tanα；

又a=sinx，b=cosx，c=tanx，b＜a＜c．

故选：b．分析】在限定条件下，比较几个式子的大小，用特殊值代入法．

二、填空题。

11.【答案】8

考点】三角函数的最值

分析】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决。极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法。

12.【答案】；

考点】定积分的简单应用，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象

解析】【解答】解：（1）由f（x）=asinax+cosax（a＞0） f（x）= 其中

f（x）的最小正周期

2）取长度为，宽度为矩形，根据三角函数的图象的对称性，所围成的封闭图形的面积为矩形的一半， =

所以：；故答案为：．

分析】（1）利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期（2）由三角函数的图象的对称性，把要求的面积转化为长度为，宽度为矩形的面积的一半来解决；或者利用定积分的意义转化为定积分来求解．

13.【答案】

考点】正弦函数的图象

解析】【解答】解：由函数的图象可知函数的最大值为a﹣b=﹣1，最小值为﹣a﹣b=﹣﹣1，解得a=， b=1，即函数的周期t=π，即 =π即ω=2，故f（x）=sin（2x+θ）1，f（）=sin（2×+θ1=-1，sin（+θ1，即+θ=2kπ+，

即θ=2kπ﹣，k∈z．

k=0时，θ=

故f（x）=sin（2x﹣）﹣1，cosc=+1，cosc=sin（c﹣）﹣1+1=sinc﹣cosc，即sinc=2cosc，平方得sin2c=4cos2c，5sin2c=4，解得sinc=，

则△abc的面积s=

故答案为：．

分析】根据函数的图象，先求出函数的解析式，结合三角形的面积公式进行求解即可．

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