三角函数的性质及三角恒等变形

发布 2022-09-23 05:01:28 阅读 9331

林贤数。

概述:三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆,但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法,于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁,使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。

考点梳理】一、考试内容。

1.角的概念的推广,弧度制。

2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。

3.两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切。

4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=asin(ωx+)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。

5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。

二、考试要求。

1.理解任意角的概念、弧度制的意义,并能正确地进行弧度和角度的换算。

2.掌握任意角的三角函数的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,了解奇函数、偶函数的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确地运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= asin(ωx+)的简图,理解a、ω、的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角,并会用符号表示。

7.掌握余弦定理、正弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。

2023年考纲删减知识点:“能利用计算器解决三角形的计算问题”)

三、知识网络:

命题研究】分析近五年的全国高考试题,有关三角函数的内容平均每年有25分,约占17%,浙江省2023年高考试题这部分内容有17分,占总分11.3%。试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期,题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求植,解决简单的综合问题,除了在填空题和选择题**现外,解答题的中档题也经常出现这方面的内容,是高考命题的一个常考的基础性的题型。

其命题热点是章节内部的三角函数求值问题,命题新趋势是跨章节的学科综合问题。

数学试题的走势,体现了新课标的理念,突出了对创新能力的考查。

如:福建卷的第17题设函数。

2)若函数的图象按向量平移后得到函数的图象,求实数的值。此题“重视知识拓宽,开辟新领域”,将三角与向量知识交汇。

高考试题联系现行新教材,如全国(2)卷中的第17题:已知锐角三角形中,(1)求证:;(2)设,求边上的高,就与下列课本习题相接近,课本第一册(下)第四章三角函数的小节与复习例2:

已知,求的值。

复习策略】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出“和、差、倍角公式”的作用,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第。

二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度。当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质”的命题,难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题,属于容易题的范畴,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势。

总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。

解答三角高考题的一般策略:

1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。

2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系。

3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化。

三角函数恒等变形的基本策略:

1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角等。

3)降次,即二倍角公式降次。

4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。

5)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。

第一课时。典型例题分析与解答】

例1、分析:对三角函数式化简的目标是:

(1)次数尽可能低;

(2)角尽可能少;

(3)三角函数名称尽可能统一;

(4)项数尽可能少。

观察欲化简的式子发现:

(1)次数为2(有降次的可能);

(2)涉及的角有β,需要把2α化为α,2β化为β);

(3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一);

(4)共有3项(需要减少),由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种。

解法一: 解法二:(从“名”入手,异名化同名)

解法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

解法四:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)

注]在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。

例2、已知函数的图像过点,且b>0,又的最大值为,(1)求函数的解析式;(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像?若能,请写出平移的过程;若不能,请说明理由。

解:(1),由题意,可得,解得,所以;

2),将的图像向上平移1个单位得到函数的图像,再向右平移单位得到的图像,故将的图像先向上平移1个单位,再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。

注]本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识,其是高考命题的重点内容,应于以重视。

例3、为使方程在内有解,则的取值范围是( )

分析一:由方程形式,可把该方程采取换元法,转化为二次函数:设sinx=t,则原方程化为,且,于是问题转化为:若关于的一元二次方程在区间上有解,求的取值范围,解法如下:

分析二: 解法如下:

注]换元法或方程思想也是高考考查的重点,尤其是计算型试题。

思维能力训练:

1、函数的图象的一条对称轴方程是( )

ab. cd.

2、下列函数中,以为周期的函数是( )

a. b.

c. d.

3、已知是第三象限的角,若等于( )

ab. cd.

4、已知,则以下选项正确的是( )

a. b.

c. d.

5、函数以2为最小正周期,且能在x=2时取得最大值,则φ的一个值是( )

abcd、6、如图,半径为2的⊙m切直线ab于o点,射线oc从oa出发绕着o点顺时针方向旋转到ob。旋转过程中,oc交⊙m于p,记∠pmo为x,弓形pno的面积为,那么的图象是( )abcd、

8、如图,一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈,记水轮上的点p到水面的距离为米(p在水面下则为负数),则(米)与时间(秒)之间满足关系式:,且当p点从水面上浮现时开始计算时间,有以下四个结论:;;则其中所有正确结论的序号是 。

9、已知函数,1)求函数的定义域、值域、最小正周期;

2)判断函数奇偶性。

10、(1)已知:,求证:;

2)已知:,求:的值。

11、已知偶函数的最小值为0,求的最大值及此时x的集合。

第二课时。典型例题分析与解答】

例1、已知向量,1)求的值;(2)若的值。

解:(1)因为。

所以。又因为,所以,即;

2),又因为,所以,所以,所以。

点评本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换的基本技能,着重考查数**算能力.平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一.

例2、已知向量,向量与向量的夹角为,且,1)求向量;

2)若向量与向量的夹角为,向量,其中为的内角,且依次成等差数列,求的取值范围。

分析:本题的特色是将向量与三角知识综合,体现了知识的交汇性,这是高考命题的一个创新,也是高考命题的新趋势,关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言,脱去向量语言的外衣,这时问题(1)就转化为解方程组问题了,而问题(2)就化归为三角形中的三角函数问题了。

解:(1)设,由,有 ①

向量与向量的夹角为,有,则 ②

由①、②解得:

2)由与垂直知,由。

若,则,=,

例3 如图,某园林单位准备绿化一块直径为bc的半圆形空地,△abc外的地方种草,△abc的内接正方形pqrs为一水池,其余的地方种花。若bc=a,∠abc=,设△abc的面积为s1,正方形的面积为s2.

1)用a,表示s1和s2;

2)当a固定,变化时,求取最小值时的角.

解:(1)设正方形边长为,则。

2)当固定,变化时,

令 ,用导数知识可以证明:函数在是减函数,于是当时,取最小值,此时。

注]三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言转化为三角的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点,但在复习中应引起足够的关注。

思维能力训练:

a.2 b. c.4 d.

2、 给出下列的命题中,其中正确的个数是( )

1) 存在实数α,使sinαcosα=1;

2) 存在实数α,使sinα+cosα=;

3) 是偶函数;

4) 若α、β是第ⅰ象限角,且α>β则tgα>tgβ

三角函数的性质及三角恒等变形

概述 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆,但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法,于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁,使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数 立体几何和解析几何中有着广泛的应用。考点梳理 一 考试内容。1.角的概念的推广,弧度制。2.任意角的三...

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