温州中学叶昭蓉。
概述：三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。
考点梳理】一、考试内容。
1.角的概念的推广，弧度制。
2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。
3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。
4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=asin(ωx+)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。
5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。
二、考试要求。
1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。
2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= asin(ωx+)的简图，理解a、ω、的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号表示。
7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
2023年考纲删减知识点：“能利用计算器解决三角形的计算问题”）
三、知识网络：
命题研究】分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，浙江省2023年高考试题这部分内容有17分，占总分11.3%。试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题**现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。
其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。
数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查。
如：福建卷的第17题设函数。
2）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值。此题“重视知识拓宽，开辟新领域”，将三角与向量知识交汇。
高考试题联系现行新教材，如全国（2）卷中的第17题：已知锐角三角形中，（1）求证：；（2）设，求边上的高，就与下列课本习题相接近，课本第一册（下）第四章三角函数的小节与复习例2：
已知，求的值。
复习策略】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第。
二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。
解答三角高考题的一般策略：
1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。
3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。
三角函数恒等变形的基本策略：
1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角等。
3）降次，即二倍角公式降次。
4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
第一课时。典型例题分析与解答】
例1、分析：对三角函数式化简的目标是：
（1）次数尽可能低；
（2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一；
（4）项数尽可能少。
观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有β，需要把2α化为α，2β化为β）；
（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；
（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。
解法一： 解法二：（从“名”入手，异名化同名）
解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。
例2、已知函数的图像过点，且b>0，又的最大值为，(1)求函数的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。
解：(1)，由题意，可得，解得，所以；
2)，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。
注］本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。
例3、为使方程在内有解，则的取值范围是（ ）
分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，于是问题转化为：若关于的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下：
分析二： 解法如下：
注］换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。
思维能力训练：
1、函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
ab. cd.
2、下列函数中，以为周期的函数是（ ）
a. b.
c. d.
3、已知是第三象限的角，若等于（ ）
ab. cd.
4、已知，则以下选项正确的是（ ）
a. b.
c. d.
5、函数以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则φ的一个值是（ ）
abcd、6、如图，半径为2的⊙m切直线ab于o点，射线oc从oa出发绕着o点顺时针方向旋转到ob。旋转过程中，oc交⊙m于p，记∠pmo为x，弓形pno的面积为，那么的图象是（ ）abcd、
8、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点p到水面的距离为米（p在水面下则为负数），则（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当p点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；；则其中所有正确结论的序号是 。
9、已知函数，1)求函数的定义域、值域、最小正周期；
2)判断函数奇偶性。
10、（1）已知：，求证：；
2）已知：，求：的值。
11、已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。
第二课时。典型例题分析与解答】
例1、已知向量，1)求的值；(2)若的值。
解：(1)因为。
所以。又因为，所以，即；
2)，又因为，所以，所以，所以。
点评本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数**算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．
例2、已知向量，向量与向量的夹角为，且，1）求向量；
2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。
分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。
解：（1）设，由，有 ①
向量与向量的夹角为，有，则 ②
由①、②解得：
2）由与垂直知，由。
若，则，＝，
例3 如图，某园林单位准备绿化一块直径为bc的半圆形空地，△abc外的地方种草，△abc的内接正方形pqrs为一水池，其余的地方种花。若bc=a，∠abc=，设△abc的面积为s1，正方形的面积为s2．
１）用a，表示s1和s2；
２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．
解：（1）设正方形边长为，则。
2）当固定，变化时，
令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。
注］三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。
思维能力训练：
a.2 b. c.4 d.
2、 给出下列的命题中，其中正确的个数是（ ）
1） 存在实数α，使sinαcosα=1；
2） 存在实数α，使sinα+cosα=；
3） 是偶函数；
4） 若α、β是第ⅰ象限角，且α＞β则tgα＞tgβ
三角函数的性质及三角恒等变形
概述 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数 立体几何和解析几何中有着广泛的应用。考点梳理 一 考试内容。1.角的概念的推广，弧度制。2.任意角的三...
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林贤数。概述 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数 立体几何和解析几何中有着广泛的应用。考点梳理 一 考试内容。1.角的概念的推广，弧度制。2.任...
三角函数图像 变换 性质
1.5.2三角函数图像 变换 性质。三维目标 1 掌握三角函数图像和性质。2 利用图像求解析式。3 会求简单的三角函数的对称问题。重点 三角函数图像 变换 性质。难点 三角函数图像 变换 性质应用。一 新知 1 当函数 a，表示一个振动量时，a就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这...