三角函數： 正弦， 餘弦， 正切， 正割， 餘割， 餘切。
正弦（英文：sine）是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]。
它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為(4n+1)π/2〔n為整數〕時，該函數有極大值1；在自變數為(4n+3)π/2時，該函數有極小值-1。正弦函數是奇函數，其圖像關於原點對稱。
正弦函數(藍色)被對中心為原點的全圓的它的 5 次泰勒級數(粉紅色)緊密逼近。
兩個角的和及差的正弦。
二倍角公式。
三倍角公式。
半形公式。和差化積公式。
萬能公式。餘弦是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]。
它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為2π（n為整數）時，該函數有極大值1；在自變數為(2n+1)π時，該函數有極小值-1。餘弦函數是偶函數，其圖像關於y軸對稱。
兩個角的和及差的餘弦。
二倍角公式。
三倍角公式。
半形公式。冪簡約公式。
和差化積公式。
萬能公式。例題1:
(a) 描繪 y = cos (x +
在區間 0 x 2 的圖像。
b) 由此，解 cos (x + 0，其中 0 x 2 。
a)b) 從上圖所得，當x = 或，cos (x +)0
例題2:a) 在同一圖中描繪 y = 2 cos x + 1 及 y = 2 sin 的圖像，其中 0 x 360
b) 由此，用圖像法解方程
2 cos x – 2 sin + 1 = 0，其中 0 x 360 。
答案準確至最接近。
a)b) 從圖像可得，x = 81 或 279 (準確至最接近)
習題：1. 下圖所示為 y = sin 3x + 1 的圖像，其中 0° x 360°。
a) 求 y 的極大值和極小值。
解： y=b) y = sin 3x + 1 是一個周期函數嗎？ 若是的話，求它的周期。
2. 下圖所示為 y = sin x 的圖像。
試在圖中加上適當的直線，從而解下列各方程，其中 0° x 360°。
a) sin x = 1
b) sin x = 0.5
3. 利用圖解法解 tan 3x = 1，其中 0° x 360°。
4. 利用圖解法解 sin x = cos 2x，其中 0° x 360°。
5考慮下圖中的 △abc。
求 。由此，證明 △abc 是一個等腰三角形。
6. 下圖所示為 y = cos 3x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程 cos 3x – 1 = 0，其中
0 x 360 。
7. 下圖所示為 y = sin 3x – cos 2x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程。
2 sin 3x = 1 + 2 cos 2x，其中 0 x 360 。
8. 下圖所示為 y = cos 3x 及 y = cos x的圖像。解方程 cos 3x = cos x，其中 0 x 360 。
9. 假設已知 y = 2 sin x + 3 cos x – 2的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直線的方程。
(a) 2 sin x + 3 cos x + 2 = 0
(b) 2 sin x = 3 cos x
(c) 4 sin x + 6 cos x = 1
10. 假設已知的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直線的方程。
(a) (b)
(c) 11. 對於函數 y = 3 cos 2x，(a) 繪畫它的圖像，其中 0 x 360 ；
(b) 求它的極大值和極小值；
(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期。
12. 對於函數 y = cos 3x + 1，(a) 繪畫它的圖像，其中 0 x 360 ；
(b) 求它的極大值和極小值；
(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期。
13. 利用圖解法解方程，其中 0 x 360 。
14. 利用圖解法解方程，其中 0 x 360 。
15. (a) 利用圖解法解方程cos x + sin x = 1，其中 0 x 360
(b) 由此，解 cos (x + 30 ) sin (x + 30 ) 1，其中 0 x 360 。選擇題：
上圖為下列哪個函數的圖像？
a. b.
c. d.
17. 的圖像的最高點是。
a. 。b. 。
c. 。d. 。
上圖為下列哪個函數的圖像？
a. b.
c. d.
19.下圖所示為周期函數。
的周期是。a. 30 。
b. 60 。
c. 90 。
d. 120 。
20. 下圖所示為周期函數。
的周期是。a. 30 。
b. 60 。
c. 90 。
d. 120 。
21. 假設已知的圖像。 以下哪一項是不正確的？
a. 在該圖像中加上的圖像，可解。
b. 在該圖像中加上的圖像，可解。
c. 在該圖像中加上的圖像，可解。
d. 在該圖像中加上的圖像，可解。
反三角函數。
預備知識。正弦函數、余弦函數、正切函數的定義、圖象及性質。
已知三角函數值，求角。
誘導公式。重點。
反正弦函數。
已知三角函數值，在指定範圍內求角。
難點。反正弦函數的概念。
已知三角函數值，在指定範圍內求角。
學習要求。了解反三角函數的概念和圖象，掌握反三角函數的記號。
掌握已知三角函數值利用電算機求角的方法，並應用誘導公式將。
角轉化為指定範圍內的角。
會解任意三角形。
1. 反正弦函數。
(1)反正弦函數的定義。
先來探討正弦函數。
y=sinx, x1)
的反函數問題．你已經在§6.1中學習了y=f(x) 存在反函數的條件，是x, y之間必須一一對應，反映在圖象上，那就是任一平行於x軸的直線與函數圖象的交點不能多於一個．正弦函數在其定義域(-(中顯然不滿足這些條件．如。
sin=，sin(2k +)sin((2k-1) -k z，因此对应关系不是一一对应的；从图象上看就更明显了，如图6-19所示，直线y=与正弦曲线有无限多个交点．因此正弦函數(1)的反函數是不存在的﹗
但是若把x限制在。
sinx的局部區間內，例。
如在[-,内，考虑。
函数 y=sinx, x2)
因為它在定義域上單調增加，反函數是存在的(圖6-19)．把值域是[-1, 1]的函數(2)(注意它不是正弦函數)的反函數稱為反正弦函數．
我们已经知道，“sin”本来就是一个函数记号，你一看见函数sinx，尽管没有具体的x的数学式，但立即能知道函数值是表示什么；函数(2)的反函数的含义也十分明确：与[-1,1]中的任一y对应的是[-,内唯一使sinx=y成立的那个x．但x無法表示為一個y的數學式．因此我們用一個特殊的函數記號 “arcsin” 來標記．即函數(2)的直接反函數是。
x=arcsiny, y([-1, 1]，而常規反函數則是。
y=arcsinx, x([-1,16-4-1)
按照通用函數記號表示，y=f(x)的常用反函數用y=f 1(x)表示，因此，在很多場合，我們又把函數(2)的反函數，即反正弦函數表示為。
y=sin 1x, x([-1,16-4-2)
注意不要把sin 1x與正弦函數值sinx的-1次冪混淆，後者表示為 (sinx) 1．)
反正弦函数(6-4-1)的值域是[-,只要把函数(2)的图象，关于直线y=x作对称，就是反正弦函数(6-4-1)的图象(见图6-20)．
注意，根據弧長公式s= r(x (r為半徑，x為弧所對中心角的弧度)，在單位圓上(見圖6-21)，x既是角度，又反映對應弧ap的長度，而sinx是正弦線mp．ap的長度》mp的長度，即。
(sinx(<(x(，表現下圖象上，在x>0部分(即y軸的右側)，y=sinx的圖象總是在直線y=x之下；在x<0部分(即y軸的左側)，y=sinx的圖象則總是在直線y=x之上．而反函數y=arcsinx的圖象與直線y=x的相對關係則相反．你在作圖時務必注意這一特點．
(2)求反正弦函數函數值。
既然 “arcsin”僅是一個函數記號，y=arcsinx沒有表示為一個x的具體數學式，那麼怎么求它的函數值呢？其实这个问题就是在第四章的 “已知三角函数函数值求角”问题，因此对[-1,1]中的任一x，你可以用计算器求得在[-,的y．我們先複習一下．
例1 求下列反三角函數的函數值(保留4個有效數字)︰
(1)arcsin(-0.866)； 2)arcsin； (3)arcsin； (4)arcsin．
解用mode鍵，把角度調成rad (弧度製)狀態，然後用電算機求角．
(1)按鍵順序 0.866 +/2ndf sin 1 顯示-1.047 146 746，所以。
arcsin(-0.866)(-1.047
(2)按鍵順序 3 ( 2 = 2ndf sin-1 ，顯示1.047 197 551，所以。
arcsin=1.047 ▍
(事实上，因为sin=, 所以 arcsin=，这两种结果是一致的．)
(3)因为》1，所以不在arcsinx的定义域[-1,1]内，本题题目错误(你可以强行在计算器上操作一下，看看得到什么结果？)
(4)按鍵順序 3 ( 5 = 2ndf sin 1 ，顯示0.886 077 123，所以。
arcsin 0.8861 ▍
課內練習11. 求下列反正弦函數的函數值(保留4個有效數字)︰
(1)arcsin0.766； (2)arcsin； (3)arcsin； (4)arcsin．
(3)已知正弦函數值，求指定範圍內的角。
你可以用计算器算一下，sin=0.5．现在提一个相反的问题：求x使 sinx=0.
5．你至少立即会用两种不同办法得到x．能记住一批特殊角三角函数值的，可以不假思索地回答x=；记不住的，也会用计算器得到相同的结果．但是你的答案并不是我所希望的，我现在要你得到的答案就是x=，而不是其它任何值．对这种解答要求，你的计算器就无用武之地了，因为计算器总是求反正弦函数的函数值，因此所得到的x总是在反正弦函数的值域[-,里面．
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