三角函数图象和性质

第3讲三角函数的图象与性质。

基础梳理。1．“五点法”描图。

1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为。

2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为。

2．三角函数的图象和性质。

两条性质。1)周期性。

函数y＝asin(ωx＋φ)和y＝acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为。

2)奇偶性。

三角函数中奇函数一般可化为y＝asin ωx或y＝atan ωx，而偶函数一般可化为y＝acos ωx＋b的形式．

三种方法。求三角函数值域(最值)的方法：

1)利用sin x、cos x的有界性；

2)形式复杂的函数应化为y＝asin(ωx＋φ)k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测。1．(人教a版教材习题改编)函数y＝，x∈r( )

a．是奇函数b．是偶函数。

c．既不是奇函数也不是偶函数d．既是奇函数又是偶函数。

答案 c2．函数y＝的定义域为( )

a. b.

c. d.

答案 a3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )

a．f(x)在单调递减 b．f(x)在单调递减。

c．f(x)在单调递增 d．f(x)在单调递增。

解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)sin，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x) ＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈z)，又|φ|可得φ＝，所以f(x)＝cos 2x，在单调递减．答案 a

4．y＝的图象的一个对称中心是( )

a．(－0) b. c. d.

解析 ∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈z)，∴令x－＝kπ(k∈z)，x＝kπ＋(k∈z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是。答案 b

5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为___

解析 t＝＝π答案 π

考向一三角函数的定义域与值域。

例1】(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．

2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．

解 (1)依题意。

2)设sin x＝t，则t∈.

3)∴y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，t∈，故当t＝，即x＝时，ymax＝，当t＝－，即x＝－时，ymin＝.

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝asin(ωx＋φ)k的形式，再求最值(值域)；

形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

训练1】 (1)求函数y＝的定义域．

2)已知函数f(x)=＋2，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值解 (1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为。

2)由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.

又x∈，∴2x－∈，sin∈.

故当x＝时，f(x)取最大值1；

当x＝－时，f(x)取最小值－.

考向二三角函数的奇偶性与周期性。

例2】(2011·大同模拟)函数y＝y＝－1是( )

a．最小正周期为π的奇函数 b．最小正周期为π的偶函数。

c．最小正周期为的奇函数 d．最小正周期为的偶函数。

审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性．

解析 y＝y＝－1＝cos＝sin 2x为奇函数，t＝＝π

答案 a求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．

训练2】已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈r，则f(x)的最小正周期是___

解析由f(x)＝(sin x－cos x)sin x＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x＝－sin＋.∴最小正周期为π.答案 π

考向三三角函数的单调性。

例3】已知f(x)＝sin x＋，x∈[0，π]求f(x)的单调递增区间．

审题视点] 化为形如f(x)＝asin(x＋φ)的形式，再求单调区间．

解 f(x)＝sin x＋sin＝sin x＋cos x＝sin.

由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈z，得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈z，又x∈[0，π]f(x)的单调递增区间为。

求形如y＝asin(ωx＋φ)k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．

训练3】函数f(x)＝＝的单调减区间为___

解析 f(x)＝sin＝－sin，它的减区间是y＝sin的增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈z，得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.故所求函数的减区间为(k∈z)．答案 (k∈z)

考向四三角函数的对称性。

例4】(1)函数y＝图象的对称轴方程可能是( )

a．x＝－ b．x＝－ c．x＝ d．x＝

2)若0＜α＜g(x)＝sin是偶函数，则α的值为___

审题视点] (1)对y＝cos x的对称轴为x＝kπ，把“ωx＋φ”看作一个整体，即可求．

2)利用＋α＝kπ＋(k∈z)，求解限制范围内的α.

解析 (1)令2x＋＝kπ(k∈z)，得x＝－(k∈z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－.本题也可用代入验证法来解．

2)要使g(x)＝cos为偶函数，则须＋α＝kπ，k∈z，α＝kπ＋，k∈z，∵0＜α＜

答案 (1)a (2)

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则。

2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则。

解析 (1)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈z)，即3×＋φkπ＋(k∈z)，得φ＝kπ＋(k∈z)，又|φ|k＝0，故φ＝.

2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，φ＝kπ＋，k∈z.答案 (1) (2)kπ＋，k∈z

难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题。

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．

一、根据三角函数的单调性求解参数。

示例】)已知函数f(x)＝(0)的单调递增区间为(k∈z)，单调递减区间为(k∈z)，则ω的值为___

二、根据三角函数的奇偶性求解参数。

示例】(2011·泉州模拟)已知f(x)＝cos(x＋φ)sin(x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )

a. b. c．－ d．－

根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)

示例】若函数y＝sin ωx·sin (ω0)的最小正周期为，则。

根据三角函数的最值求参数(教师备选)

示例】(2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a、b的值是( )

a．a＝－1，b＝ b．a＝1，b＝－

c．a＝，b＝－1 d．a＝－，b＝1

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