日期：2024年12月15日。
知识要点】1．正切函数的性质（周期性、奇偶性、有界性、单调性、最值性）
注】（1）正切函数的定义域在解题时，容易忽视，必须加深印象。
（2）正切函数在定义域内都是非单调函数，但在每个单调区间内都是单调函数。
2．函数的图像。
1） 五点作图法：l确定函数的最小正周期；令得相应的值，进而得到五个关键点；描点作图，先作出函数在一个周期内的图像，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图像向左，右扩展，得到函数的图像。
2） 图像的变换：一般地，先把函数的图像上所有的点向左或向右平移个单位；再把所得各点的横坐标变成原来的（纵坐标保持不变）；再把所得各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标保持不变），从而得到函数的图像。
3） 几个概念：叫做振幅；叫做频率；叫做相位，叫做初相。
4．函数的性质。
典型例题】题型1．正切函数的定义域和值域问题。
例1】求函数的值域。
解题策略】换元法化成二次函数的值域求法。
解答】设，所以原函数转化为。
因此原函数的值域为。
题型2．正切函数的周期性问题。
例1】求下列函数的周期：（1）（2）
解题策略】用周期函数定义及正切函数最小正周期为来解。
解答】（1）周期
周期。点评】从上例，我们能得到函数的周期为。
题型3．正余切函数奇偶性及单调性问题。
例1】判断下列函数的奇偶性：
解题策略】根据函数的奇偶性定义及负角的诱导公式进行判断。
解答】（1）的定义域为关于原点对称。为偶函数。
（2）的定义域为关于原点对称。
且且。既不是奇函数又不是偶函数。
（3）的定义域为不关于原点对称。既不是奇函数又不是偶函数。
点评】函数具有奇、偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称，故在证。
成立之前，要先判断定义域是否关于原点对称。本例第（3）小题容易发生以。
下错误：因而得出结论是奇函数。
产生错误的原因就是忽视了定义域的对称性。
例2】求下列函数的单调区间：
解题策略】利用复合函数的单调性求解。
解答】（1）令，则为增函数，在。
上单调递增，在。
即上单调递增 .
（2）令则，为减函数，在。
上单调递减，在。
上单调递减，即在。
上单调递减。
点评】正切函数的单调增区间需要熟记，同时复合函数“同增异减”的法则要熟悉。
题型4．五点法作图问题。
例1】利用“五点法”作函数的图像，并指出这个函数的振幅、周期和初相。
解题策略】列表、描点、连线即可。
描点： 用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数。
在一个周期内的简图如右图。
该函数的振幅为2，周期为，初相为。
点评】五点法作图，实际就是换元法。不需死记硬背，只需记住五个基本量，根据解方程求得自变量的值。
题型5．求函数的解析式问题。
例1】已知函数在一个周期内的简图（如图）求其相应的函数表达式，并说明其图像可由的图像经过怎么样的变换而得到。
解题策略】应求出，观察图像易知振幅周期从而求得，对于，只需将点代入解析式即可。
解答】因为所以又易知所以。
将点代入上式得即。
得它的图像可由的图像作如下变换得到：
点评】⒈由图像（如图）确定函数解析式方法可归纳如下：（1）确定振幅。
（2）确定角频率。
（3）确定初相值：一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定，即：
若由此求得的值不在题设范围内，则可通过使之满足）
确定初相是解此类题的关键，要特别注意代入点的特征，如此题若以点代入，则点应为，从而。
函数的图像变换参看本讲的重难点选讲。
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