考点知识梳理。
ⅰ)标准三角函数及其性质:
ⅱ)关于函数。
几个名词: 振幅, 周期, 频率, 相位, 初相(的相位)
常见相关问题的处理:思路为换元法,令,由的范围解的范围。
周期: 奇偶性:若为奇函数,可解出。
若为偶函数,可解出。
对称轴:,由可解出。
对称点(中心):,由可解出,中心即为。
单调性:,由解出的范围即为递增区间。
由解出的范围即为递减区间。
注:研究方法相同。
图象变换。由的图象得到的图象主要有两种方法:
ⅲ)其他问题。
三角相关函数最小正周期: ;平方,加绝对值周期减半:如,
值域问题:一次式: 值域。
二次式:,令,,转化成二次函数值域。
一次齐次式: 值域。
商式转化成斜率。
反解出,由解出的值域。
题型分类精讲。
题型一三角函数定义域的问题。
例1、求下列函数的定义域:
分析:(1)对数真数大于零,底数大于零且不等于1;(2)偶次根式的被开方数大于或等于零;(3)分数分母不为零;(4)解三角不等式常用方法:利用单位圆中的三角函数线、利用三角函数图象、利用函数单调性。
变式练习1已知函数的定义域为,求函数的定义域。
题型二三角函数的值域与最值。
例2、求下列函数的最值。
4)求的值及的最大值和最小值。
例3、已知函数的定义域为,函数的最大值为,最小值为,求和的值。
变式练习。已知函数的图象与轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为。
1) 求的解析式;
2) 当时,求的值域。
题型三五点法做三角函数的图象。
例4、已知函数。
1) 求出函数的最小正周期和最大值;
2) 画出函数在区间上的图象。
变式练习。用五点法做的图象,说明是怎样由图像变换而来的。
题型四函数图象的变换。
例5、(1)作出函数的图象,并指出该函数的周期与单调区间。
2)说明图象是由的图象经过怎样变换得到的。
变式练习(1)将函数的图象上所有的点象右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,所的图象的函数解析式是什么?
2)若将函数的图象向有平移个单位长度后,与函数的图象重合,则的最小值是什么?
题型五由函数图象求解析式。
例6 已知正弦函数的图象如图所示,求函数的解析式。
变式练习已知函数的图象所示,,则求。
题型六三角函数的单调性。
例7 求函数的单调减区间。
变式练习函数为增函数的区间是?
题型七三角函数的对称性。
例8、已知函数,且的最大值为2,其图象相邻两对称轴之间的距离为2,并过点(1,2)
1) 求;2) 计算。
变式练习已知函数,在处取得最小值,则函数的奇偶性及对称中心。
题型八三角函数的周期性问题。
例8、 已知函数。
1)求函数的最小正周期;
2)求函数的最大值及取最大值是的集合。
题型九三角函数的奇偶性。
例9、已知函数。
1) 求函数的定义域;
2) 用定义判断函数的奇偶性;
3) 写出函数的最小正周期及单调区间。
题型十三角函数综合应用
例已知函数在时取得最大值4.
1) 求的最小正周期;
2) 求的解析式;
3) 若,求。
变式练习已知函数。
1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
2)求函数在区间上的值域。
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