一、知识回顾：
1．正弦、余弦、正切函数的图像和性质。
2．掌握以下与三角函数有关的值域问题。
1），其中，其值域为。
2），其中，其值域为。
3）对于形如型的函数，可以令转化为求
的值域。3．函数。
振幅是，最小正周期是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与轴的交点都是该图象的对称中心。
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如。
1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？
答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；
2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移___个单位。
答：左；）；
（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量。
答：存在但不唯一，模最小的向量）；
5．由y＝asin(ωx＋)的图象求其函数式。
给出图象确定解析式y=asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6．五点法作y=asin（ωx+）的简图。
五点取法是设x=ωx+，由x取π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
附录三种基本变换规律：
1．平移变换规律。
(1)水平平移：y＝f(x＋ )的图象，可由y＝f(x)的图象向左( ＞0), 或向右( ＜0)平移| |个单位得到。
(2)垂直平移：y＝f(x)+b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位得到。
2．对称变换规律。
1) y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称。
2) y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称。
3) y＝f －1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称。
4) y＝－f-1(－x)与y＝f(x) 的图象关于直线y＝－x对称。
5) y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称。
3．伸缩变换规律。
1) 水平伸缩：y＝f(ωx)(ω0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸长(0＜ω＜1) 或缩短(ω＞1)到原来的倍(纵坐标不变)得到。
2) 垂直伸缩：y＝af(x)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍(横坐标不变)得到。
注：函数y＝asin(ωx＋ )a＞0, ω0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y=af(ωx＋ )a＞0, ω0)也成立。
二、典型例题：
例1.求下列函数的定义域：
例2．求下列函数的单调减区间：
例3．求下列函数的最小正周期：
例4.（1）已知，求的最大值与最小值．
2）求函数的最大值．
分析：可化为二次函数求最值问题．
例5.已知函数，．
i）求的最大值和最小值；
ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．
例6.已知函数．
ⅰ）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；
ⅱ）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到．
分析：化为形式．
例7.已知正弦函数的图像如右图所示．
1）求此函数的解析式；
2）求与图像关于直线对称的曲线的解析式；
3）作出函数的图像的简图．
分析：识别图像，抓住关键点．
三、同步练习：
1．函数的最小正周期为。
2．设函数，则在上的单调递减区间为。
3．函数的单调递增区间是。
4．设函数，则的最小正周期为。
5．函数在上的单调递增区间是。
6．已知函数．
ⅰ）求的定义域；
ⅱ）若角在第一象限且，求．
7． 设函数图像的一条对称轴是直线．
ⅰ）求；ⅱ）求函数的单调增区间；
ⅲ）画出函数在区间上的图像。
8．函数的最小值等于。
9．当时，函数的最小值是。
10．函数的最大值为___最小值为___
11．函数的值域为。
12．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于。
13．已知函数．
ⅰ）求函数的最小正周期；
ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
14．为了得到函数的图像，只需把函数，的图像上所有的点。
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．
其中，正确的序号有。
15．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移___个单位长度．
16．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则。
17．在内，使成立的取值范围为。
18．下列函数：
其中函数图象的一部分如右图所示的序号有。
19．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数。
1）求这段时间的最大温差；
2）写出这段时间的函数解析式．
20．如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
1）求和的值；
2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
参***：典型例题：
例1．解：（1）即，故函数的定义域为且。
2）即。故函数的定义域为．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．
例2．解：（1）因为，故原函数的单调减区间为．
2）由，得，又，所以该函数递减区间为，即．
点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．
例3．解：（1）由函数的最小正周期为，得的周期．
点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．
例4．解：（1）由已知得：，，则．
当时，有最小值；当时，有最小值．
2）设，则，则，当时，有最大值为．
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．
例5．解：（ⅰ
又，，即，ⅱ）且，即的取值范围是．
例6．解：（i）由。
列表，取点，描图：
故函数在区间上的图象是：
ⅱ）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
例7．解：（1）由图知，，，即．
将，代入，得，解得，即．
2）设函数图像上任一点为，与它关于直线对称的对称点为，得解得代入中，得．
3），简图如图所示．
点评：由图像求解析式，比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求．
同步练习：2．，。3．。4．。5．
6．解：（ⅰ由得，即．
故的定义域为．
ⅱ）由已知条件得．
从而。7．解：（ⅰ的图像的对称轴，ⅱ）由（ⅰ）知。
由题意得。所以函数。
ⅲ）由。故函数。
13．解：（ⅰ
因此，函数的最小正周期为．
ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为．
19．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是℃
2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期，解得。
由图示， 这时，将代入上式，可取。
综上，所求的解析式为（）
20．解：（1）将，代入函数得，因为，所以．
又因为该函数的最小正周期为，所以，因此．
2）因为点，是的中点，所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，从而得或．即或．
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