课时作业(二十二)
一、选择题。
1．(2010·重庆卷)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )
a．y＝sin(2x＋) b．y＝cos(2x＋)
c．y＝sin(x＋) d．y＝cos(x＋)
答案 a解析对于选项a，注意到y＝sin(2x＋)＝cos2x的周期为π，且在[，]上是减函数，故选a.
2．函数y＝2cos2x的一个单调增区间是( )
a．(－b．(0，)
c．(，d．(，
答案 d解析 y＝2cos2x＝1＋cos2x，递增区间为2kπ＋π2x≤2kπ＋2π
kπ＋≤x≤kπ＋π
k＝0时，≤x≤π.选d.
3．已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)a>0，ω>0)在x＝处取得最小值，则( )
a．f(x＋)一定是偶函数。
b．f(x＋)一定是奇函数。
c．f(x－)一定是偶函数。
d．f(x－)一定是奇函数。
答案 a解析 f(x＋)是f(x)向左平移个单位得到的f(x)图象关于x＝对称，则f(x＋)图象关于x＝0对称，故f(x＋)为偶函数．
4．(2011·杭州模拟)定义在r上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－0)时，f(x)＝sinx，则f(－)的值为( )
a．－ b.
c．－ d.
答案 d解析据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f(－)f(－＋2π)＝f()＝f(－)sin(－)
5．函数y＝－xcosx的部分图象是( )
答案 d分析方法一由函数y＝－xcosx是奇函数，知图象关于原点对称．
又由当x∈[0，]时，cosx≥0，有－xcosx≤0.
当x∈[－0]时，cosx≥0，有－xcosx≥0.∴应选d.
方法二特殊值法，由f(±)0，f()＝cos<0，由图象可排除a、b，又∵f(－)cos>0，排除c，故选d.
6．关于x的函数f(x)＝sin(πx＋φ)有以下命题：
φ∈r，f(x＋2π)＝f(x)；
φ∈r，f(x＋1)＝f(x)；
φ∈r，f(x)都不是偶函数；
φ∈r，使f(x)是奇函数．
其中假命题的序号是( )
a．①③b．①④
c．②④d．②③
答案 a解析对命题①，取φ＝π时，f(x＋2π)≠f(x)，命题①错误；如取φ＝2π，则f(x＋1)＝f(x)，命题②正确；对于命题③，φ0时f(x)＝f(－x)，则命题③错误；如取φ＝π则f(x)＝sin(πx＋π)sinπx，命题④正确．
二、填空题。
7．设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点p(x0,0)成中心对称，若x0∈[－0]则x0＝__
答案 －解析因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x＋)＝0，x0∈[－0]，得x0＝－.
8．(2010·浙江)函数f(x)＝sin (2x－)－2sin2 x的最小正周期是___
答案 π解析 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x＝sin 2x－cos 2x－2×＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－故该函数的最小正周期为＝π.
9．(2011·济南统考)设函数f(x)＝sin(x＋φ)0<φ<若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则。
答案 解析由题意得f′(x)＝cos(x＋φ)f(x)＋f′(x)＝2sin(x＋φ＋是奇函数，因此φ＋＝kπ(其中k∈z)，φkπ－，又0<φ<所以φ＝.
10．(2011·德州一模)若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在区间[－，上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是___
答案 y＝cos(2x－π)
11．(2010·福建卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是___
答案 [－3]
解析 ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，所以f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω0，∴ω2，∴f(x)＝3sin(2x－)，0≤x≤，－2x－≤，sin(2x－)≤1，∴－3sin(2x－)≤3，即f(x)的取值范围为[－，3]．
12．(20101·山东淄博)将函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，仅向右平移，或仅向左平移，所得到的函数图象均关于原点对称，则。
答案 解析注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有＝－(2π，t＝4π，即＝4π，ω
三、解答题。
13．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈r)．
1)求函数f(x)的周期、对称轴方程；
2)求函数f(x)的单调增区间．
解析 f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
1)f(x)的周期t＝π，函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈z)．
2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈z)，得kx－≤x≤kπ＋(k∈z)，函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]k∈z)．
14．已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.
1)求f(x)的最小正周期；
2)设x∈[－求f(x)的值域和单调递增区间．
解析 (1)∵f(x)＝－cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋)，f(x)的最小正周期为π.
2)∵x∈[－2x＋≤πsin(2x＋)≤1.
f(x)的值域为[－2，]．
当y＝sin(2x＋)单调递减时，f(x)单调递增，≤2x＋≤π即≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为[，]
15．已知向量m＝(sinwx，－ coswx)，n＝(sinwx，cos(wx＋))w>0)，若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.
1)求w的值；
2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间．
解析 (1)由题意得f(x)＝m·n＝sin2wx－coswxcos(wx＋)
sin2wx＋coswxsinwx＝＋sin2wx
sin2wx－cos2wx＋＝sin(2wx－)＋
因为函数f(x)的最小正周期为π，且w >0，所以＝π，解得w＝1.
2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x＋)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(＋)即函数y＝g(x)的图象．
由(1)知f(x)＝sin(2x－)＋所以g(x)＝f(＋)sin[2(＋)sin＋.
令2kπ＋≤2kπ＋(k∈z)，解得4kπ＋πx≤4kπ＋3π(k∈z)．因此函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π4kπ＋3π](k∈z)．
1．(2011·厦门一模)已知函数y＝2sin(wx＋θ)为偶函数(0<θ<其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则( )
a．w＝2，θ＝b．w＝－，
c．w＝，θd．w＝2，θ＝
答案 a解析 ∵y＝2sin(wx＋θ)为偶函数，∴θ
图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，|x2－x1|min＝π，即t＝π.
2．(09·高考改编)将函数y＝sin(2x＋)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后所得的图象关于点(－，0)中心对称，则a的值可能为( )
ab．－c. d.
答案 c3．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是( )
a．6 b．7
c．8 d．9
答案 c解析周期t＝＝6.由题意，t＋≤t，得t≥7.5.故选c.
4．(2010·安徽卷，理)动点a(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点a的坐标是(，)则当0≤t≤12时，动点a的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
a．[0,1] b．[1,7]
c．[7,12] d．[0,1]和[7,12]
答案 d解析由已知可得该函数的最小正周期为t＝12，则ω＝＝又当t＝0时，a的坐标为(，)此函数为y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
5．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＋1.
1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
2)当x∈[－时，f(x)－3≥m恒成立，试确定m的取值范围．
解 (1)f(x)＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1.
因此函数f(x)的最小正周期为＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈z)．
故函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈z)．
2)当x∈[－时，2x＋∈[所以－1≤2sin(2x＋)≤2，因此0≤f(x)≤3.
因为f(x)－3≥m恒成立，所以m≤f(x)min－3＝0－3＝－3.
故m的取值范围是(－∞3]．
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