三角函数的图像和性质

三角函数的图象和性质教学案。

编写：杨振友审核：周显明时间：2012.10.15

一．知识目标1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解图像性质。

2．能画出函数y＝asin(ωx＋φ)的图象及进行图像变换。

3.会解决三角函数及其相关的一些简单实际问题。

二．高考这样考：三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择填空题，又有解答题，中低档；常与三角恒等变换交汇命题，考查三角恒等变换的方法与技巧，考查函数方程、转化化归等思想方法．

三．.知识要点：1，正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。

2，（1）关于y＝asin(ωx＋φ)的图像五点画法步骤是：

2）函数y＝sinx的图象变换得到y＝asin(ωx＋φ)的图象的步骤。

法一；先相位后周期再振幅。

法二先周期后相位再振幅。

典型题型：考点一：三角函数的定义域和单调区间。

1．求函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域。

2．求函数y＝＋的定义域．

3，已知函数f(x)＝4cosx·sin(x＋)＋a的最大值为2.

1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．

考点二：三角函数的值域和最值。

4．(2010·北京高考)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．

5，求下列函数的值域：

1)y2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.

考点三：三角函数的周期性和对称性。

6．设函数f(x)＝cosωx(sinωx＋cosωx)，其中0<ω<2.

1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时，f(x)的值域；

2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值．

跟踪训练：已知函数f(x)＝sin (ω0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的。

一条对称轴方程是。

a．x＝ b．x＝ c．x＝ d．x＝

考点四：y＝asin(ωx＋φ)的图像、性质及图像变换。

7．设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的周期为π.

1)求它的振幅、初相；(2)作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．

变式训练：7．(2009·山东高考)将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 (

a．y＝cos2x b．y＝2cos2x

c．y＝1＋sin(2xd．y＝2sin2x

8．(2011·北京海淀模拟题)函数y＝asin(ωx＋φ)a>0，ω>0，|φ的图象如图所示，则y的表达式为 (

a．y＝2sin(＋)b。y＝2sin(－)

c．y＝2sin(2x＋) d．y＝2sin(2x－)

考点五：三角函数模型的简单应用。

9,如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动θ角到ob，设b点与地面距离是h.

1)求h与θ间的函数关系式；

2)设从oa开始转动，经过t秒后到达ob，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？

跟踪训练题．10如图所示，单摆从某点开始来回摆动。

离开。平衡位置o的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那。

么单摆来回摆动一次所需的时间为( )

a．2π s b．π s c．0.5 sd．1 s

三角函数的图象和性质-课后巩固检测题。

一、选择题。

1．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的值不可能是( )

ab. cd.

2.（2011·武汉调研）已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )

a. kπ－，kπ＋，k∈z b. kπ＋，kπ＋，k∈z

c. kπ－，kπ＋，k∈z d. kπ＋，kπ＋，k∈z

3．(2010·全国卷)为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需把函数y＝sin(2x＋)的图象( )

a．向左平移个单位 b．向右平移个单位。

c．向左平移个单位 d．向右平移个单位。

4．(2009·山东高考)将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 (

a．y＝cos2x b．y＝2cos2x c．y＝1＋sin(2x＋) d．y＝2sin2x

5．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )

abcd．3

6．如图所示，点p是函数y＝2sin(ωx＋φ)x∈r，ω>0)的图象的最高点，m、n是图象与x轴的交点，若·＝0，则ω＝(

a．8b. cd．4

7．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )

ab. cd．3

二、填空题。

8．(2011抚顺六校第二次模拟)已知将函数f(x)＝2sinx的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则函数g(x

9．知函数y＝asin(ωx＋φ)n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，若a＞0，ω＞0,0＜φ＜则函数解析式为。

10．设函数y＝sin(x＋)，若对任意x∈r，存在x1，x2使f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值是。

11.（2011·南昌调研）设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为___

12．(2010·浙江高考)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的单调减区间是___

三、解答题。

13.已知函数f(x)＝sin(－2x)，求(1)求函数f(x)在[－π0]上的单调递减区间；(2)求f(x)在[0，]上的最值．

14．已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)x∈r，a>0，ω>0，|φ的部分图象如图所示．

1)试确定f(x)的解析式；

2)若f()＝求cos(－a)的值．

15．(2011·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x

1)求f(x)的单调递减区间 (2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；

3)若角α，β的终边不共线，且f(α)f(β)求tan(α＋的值．

16．已知向量a＝(sinx,2sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定义f(x)＝a·b－.

1)求函数y＝f(x)，x∈r的单调递减区间；

2)若函数y＝f(x＋θ)为偶函数，求θ的值．

17．(2010·山东高考)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ0<φ<其图象过点(，)1)求φ的值；

2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值。

18．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝asin(ωx＋φ)b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最**8千元，7月份**最低为4千元，该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.

1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；

2)问哪几个月能盈利？

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