反三角函数的概念和性质。
一．基本知识：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；
3．符号arcsinx可以理解为[－，上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] ,cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－arccos(cosx)＝x, x∈[0, π的运用的条件；
6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；
7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。
例一．下列各式中成立的是（c）。
a）arcctg(－1)＝－b）arccos(－)
c）sin[arcsind）arctg(tgπ)＝
解：(a)(b)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, πarccos(－)0, πd)中，arctg(tg而a)(b)(d)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（d）。
a）y＝sinx, x∈[－0] （b）y＝sinx, x∈[,
c）y＝sinx, x∈[,d）y＝sinx, x∈[,
解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数， 所以选d。
例三． arcsin(sin10)等于（c）。
a）2π－10 （b）10－2π （c）3π－10 （d）10－3π
解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－,上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－所以选c。（
例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
1）f (x)＝2sin2x, x∈[,2）f (x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[,2x∈[,2x2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)sin2x＝－,2x－π＝arcsin(－)x＝－arcsin, ∴f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[,
2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－y∈[,arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－),x＝cos(y－)＝siny,f －1(x)＝sinx , x∈[,y∈[－
例五．求下列函数的定义域和值域：
1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); 3) y＝arcctg(2x－1),解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴x≥1, y∈[0, )
2) y＝arcsin(－x2＋x), 1≤－x2＋x≤1, ∴x≤,
由于－x2＋1＝－(x－)2＋, 1≤－x2＋x≤, y≤arcsin.
3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴0< arcctg(2x－1)<,x∈r, y∈(0, )
例六．求下列函数的值域：
1) y＝arccos(sinx), x∈(－2) y＝arcsinx＋arctgx.
解：(1) ∵xsinx∈(－1], y∈[0, )
2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数，
－≤arcsinx≤, arctgx≤, y∈[－
例七．判断下列函数的奇偶性：
1) f (x)＝xarcsin(sinx); 2) f (x)＝－arcctgx.
解：(1) f (x)的定义域是r， f (－x)＝(x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),
∴ f (x)是偶函数；
2) f (x)的定义域是r,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x), f (x)是奇函数。
例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－的图象。
解：y＝arcsin(sinx), x得， 图象略。
例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)arccos(－)最大，设arcsin＝α，sinα＝,设arctg＝β,tgβ＝,sinβ＝∴arctg< arcsin< arccos(－)例十．解不等式：(1) arcsinx.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时， arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数，arccosx是减函数， 当x∈[－1, )时， arcsinx(2) ∵arccosx＝－arcsinx, ∴原式化简得4arcsinx>, arcsinx>＝arcsin,
arcsinx是增函数， ∴二．基础知识自测题：
1．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是。
2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π
3．函数y＝arctgx的定义域是 r ，值域是。
4．函数y＝arcctgx的定义域是 r ，值域是 (0, π
5．arcsin(－)arccos(－)arctg(－1)＝;arcctg(－)
6．sin(arccos)＝;ctg[arcsin(－)tg(arctg)＝;cos(arcctg)＝.
7．若cosx＝－,x∈(,则x＝.
8．若sinx＝－,x∈(－0)，则x＝.
9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π则x＝.
三．基本技能训练题：
1．下列关系式总成立的是（b）。
a）π－arccosx>0 （b）π－arcctgx>0 （c）arcsinx－≥0 （d）arctgx－>0
2．定义在(－∞上的减函数是（d）。
a）y＝arcsinx （b）y＝arccosx （c）y＝arctgx （d）y＝arcctgx
3．不等式arcsinx>－的解集是。 4．不等式arccosx>的解集是。
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