第1讲三角函数的图象与性质。
高考考情解读】
1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇。
2.题型多以客观题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．
主干知识梳理】
1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式。
1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
3)诱导公式：在＋α，k∈z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2． 三角函数的图象及常用性质。
3． 三角函数的两种常见变换。
考点**】考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题。
例1 (1)如图，为研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示坐标系，设秒针针尖位置p(x，y)．若初始位置为p0，当秒针从p0(此时t＝0)正常开始走时，点p的纵坐标y与时间t的函数关系为___
2)(2012·山东)如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点p的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为___
答案 (1)y＝sin (2)(2－sin 2,1－cos 2)
解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点p0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置p到坐标原点的距离为1，故点p的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin.
2)利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．
设a(2,0)，b(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠abp＝＝2.
设p(x，y)，则x＝2－1×cos＝2－sin 2，y＝1＋1×sin＝1－cos 2， ∴的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)若sin＝a，则cos
解析 cos＝cos＝－cos＝－sin＝－sin＝－a.
2)如图，以ox为始边作角α(0<α<终边与单位圆相交于点p，已知点p的坐标为。
求的值．解由三角函数定义，得cos α＝sin α＝原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.
考点二三角函数y＝asin(ωx＋φ)的图象及解析式。
例2 如图，它是函数y＝asin(ωx＋φ)a>0，ω>0，|φ的部分图象，由图中条件，写出该函数的解析式．
本题考查已知图象上的点，求三角函数的解析式，解题的。
关键是正确理解参数a，ω，的含义，以及它们对函数图象的作。
用，抓住两者联系解决问题．
解由图知a＝5，由＝－π得t＝3π，∴此时y＝5sin. 下面求初相φ.
方法一 (单调性法)：∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴＋k∈z)．
由sin＝0得＋φ＝2kπ＋πk∈z)，∴2kπ＋(k∈z)．∵
该函数的解析式为y＝5sin.
方法二 (最值点法)：将最高点坐标代入y＝5sin，得5sin＝5，＋φ2kπ＋(k∈z)，∴2kπ＋(k∈z)．又|φ|该函数的解析式为y＝5sin.
(1)已知函数y＝asin(ωx＋φ)a>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求a；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
(1)(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)0，－
的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是___
解 ∵t＝－，t＝π，2，又2×＋φ2kπ＋，k∈z，∴φ2kπ－，又φ∈，
2)(2013·山东)设△abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos b＝.
求a，c的值；②求sin(a－b)的值．
解 ①由余弦定理得：cos b＝＝＝即a2＋c2－4＝ac. ∴a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9. 由得a＝c＝3.
在△abc中，cos b＝，∴sin b＝＝＝
由正弦定理得：＝，sin a＝＝＝
又a＝c，∴0∴sin (a－b)＝sin acos b－cos asin b＝×－
考点三三角函数的性质。
例3 (2012·北京)已知函数f(x)＝.
1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质．
解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈z)， 故f(x)的定义域为．
因为f(x)＝＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，所以f(x)的最小正周期t＝＝π
2)函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈z)，得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈z)．
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈z)．
函数y＝asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路。
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝asin(ωx＋φ)b的形式；
三角函数图像和性质
正弦函数 余弦函数的性质同步试题。1.不等式 的解集是。2.函数的奇偶数性为 a.奇函数 b.偶函数。c 既奇又偶函数 d.非奇非偶函数。3.下列函数在上是增函数的是 a.y sinx b.y cosx c.y sin2x d.y cos2x 4.下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数...
三角函数图像和性质
三角之 三角函数的图像和性质 2011.07.21一 基础知识。1.正弦函数，余弦函数，正切函数的图像及其相关性质。1 图像 2 相关性质 对称轴，对称中心，周期性，奇偶性，单调区间。周期t 周期t 对称点为周期t 2 函数的图像和性质 即 对称轴经过图像的最高点或最低点且和轴平行 若则 为对称点。...
三角函数的图像和性质
高考目标与要求 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数理解三角函数，的性质，进一步学会研究并会应用形如函数的性质 2.了解函数的实际意义，能用五点法画出的图像 3.理解三角函数图像的变换 平移变换 对称变换和伸缩变换 4.在解题中体现化归 数形结合的数学思想方法...