第三节三角函数的图象与性质。
备考方向要明了]
归纳·知识整合]
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质。
**] 1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？
提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
2．当函数y＝asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝acos(ωx＋φ)呢？
提示：函数y＝asin(ωx＋φ)当φ＝kπ(k∈z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈z)时是偶函数；函数y＝acos(ωx＋φ)当φ＝kπ(k∈z)时是偶函数，当φ＝kπ＋(k∈z)时是奇函数．
自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin，x∈r，则f(x)是( )
a．最小正周期为π的奇函数。
b．最小正周期为π的偶函数。
c．最小正周期为的奇函数。
d．最小正周期为的偶函数。
解析：选b ∵f(x)＝sin(2x－)＝cos 2x，f(x)是最小正周期为π的偶函数．
2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x∈[－的单调性是( )
a．在[－π0]上是增函数，在[0，π]上是减函数。
b．在上是增函数，在和上都是减函数。
c．在[0，π]上是增函数，在[－π0]上是减函数。
d．在∪上是增函数，在上是减函数。
解析：选b 由函数y＝4sin x，x∈[－的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数．
3．函数y＝的定义域为( )
a. b.，k∈z
c.，k∈z
d．r解析：选c ∵cosx－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈z.
4．(教材习题改编)函数f(x)＝sin，x∈r的最小正周期为___
解析：函数f(x)＝sin的最小正周期为。
t＝＝4π.
答案：4π5．函数y＝3－2cos的最大值为___此时x
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π2kπ，即x＝＋2kπ(k∈z)．
答案：5 ＋2kπ(k∈z)
例1] (1)求函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域；
2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域．
自主解答] (1)要使函数有意义，必须有。
即。解得(k∈z)，即＋2kπ≤x＜＋2kπ(k∈z)．
故所求函数的定义域为(k∈z)．
2)y＝2cos2x＋5sin x－4
2(1－sin2x)＋5sin x－4
－2sin2x＋5sin x－2
－2(sin x－)2＋.
故当sin x＝1时，ymax＝1，当sin x＝－1时，ymin＝－9，故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]．
1．三角函数定义域的求法。
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的求法。
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝asin(ωx＋φ)k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
1．(1)求函数y＝＋的定义域；
2)设a∈r，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)要使函数有意义。
则即。利用数轴可得：
所以函数的定义域是。
2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2
asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x.
由于f＝f(0)，所以·sin－cos＝－1，即－a＋＝－1，得a＝2.
于是f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由于x∈，所以2x－∈，因此当2x－＝即x＝时f(x)取得最大值f＝2，当2x－＝即x＝时f(x)取得最小值f＝.
例2] 求下列函数的单调递减区间：
1)y＝2sin；(2)y＝tan.
自主解答] (1)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈z，得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈z.
故函数y＝2sin的单调减区间为。
k∈z)．2)把函数y＝tan变为y＝－tan.
由kπ－<2x－得kπ－<2x即－故函数y＝tan的单调减区间为。
k∈z)．若将本例(1)改为“y＝2”，如何求解？
解：画出函数y＝2的图象，易知其单调递减区间为(k∈z)．
1．三角函数单调区间的求法。
求形如y＝asin(ωx＋φ)或y＝acos(ωx＋φ)其中a≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(0)”视为一个“整体”；
a＞0(a＜0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈r)，y＝cos x(x∈r)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．对于y＝atan(ωx＋φ)a、ω、为常数)，其周期t＝，单调区间利用ωx＋φ∈解出x的取值范围，即为其单调区间．
2．复合函数单调区间的求法。
对于复合函数y＝f(v)，v＝φ(x)，其单调性判定方法是：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数．
3．含绝对值的三角函数单调区间的求法。
求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于( )
a．3b．2
c. d.
解析：选c ∵y＝sin ωx(ω＞0)过原点，当0≤ωx≤，即0≤x≤时．
y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由y＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，故ω＝.
例3] (1)(2012·福建高考)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
a．xb．x＝
c．x＝－ d．x＝－
2)(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝
a. b.
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