一．课标要求。
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；
二．要点精讲。
1．奇偶性。
1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) =f(x) 或 f(－x)－f(x) =0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =f(x) 或 f(－x)＋f(x) =0，则f(x)是奇函数。
3）简单性质：
图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。
2．单调性。
1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为i， 如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间d上是增函数（减函数）；
注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间d内的任意两个自变量x1，x2；当x1（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间d叫做y=f(x)的单调区间。
3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) ,a是y= f[g(x)]定义域的某个区间，b是映射g : x→u=g(x) 的象集：
若u=g(x) 在 a上是增（或减）函数，y= f(u)在b上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在a上是增函数；
若u=g(x)在a上是增（或减）函数，而y= f(u)在b上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在a上是减函数。
4）判断函数单调性的方法步骤。
利用定义证明函数f(x)在给定的区间d上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈d，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性）。
5）简单性质。
奇函数在其对称区间上的单调性相同；
偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数。
3．最值。1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈i，都有f(x)≤m；②存在x0∈i，使得f(x0) =m。
那么，称m是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈i，都有f(x)≥m；②存在x0∈i，使得f(x0) =m。
那么，称m是函数y=f(x)的最大值。
注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈i，使得f(x0) =m；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈i，都有f(x)≤m（f(x)≥m）。
2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
4．周期性。
1）定义：如果存在一个非零常数t，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+t)= f(x)，则称f(x)为周期函数；
2）性质：①f(x+t)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为t，则f(ωx)（ω0）是周期函数，且周期为。
四．典例解析。
奇偶性典型例题】
例1．以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）；
（5），其中奇函数是___偶函数是__ 非奇非偶函数是。
点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
题型二：奇偶性的应用。
例2．设f（x）是定义在r上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2
例3．已知奇函数，当∈（0，1）时，，那么当∈（－1，0）时，的表达式是 ．
例4．若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试求a的范围：
解：由已知得。
因f(x)是奇函数，故 ，于是．
又是定义在（1，1）上的增函数，从而。
即不等式的解集是。
例5．已知定义在r上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，又．
1）求证：为奇函数；（2）求证：在r上是减函数；（3）求在[，6]上的最大值与最小值．
解：（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) =0．
令，可得 ，即，故为奇函数．
2）证明：设∈r，且，则，于是．从而。
所以，为减函数．
3）解：由（2）知，所求函数的最大值为，最小值为．
于是，在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4．
单调性典型例题】
例1．(1)则a的范围为( )
a． b． c． d．
(2)函数)是单调函数的充要条件是( )
a． b． c． d．
3)已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ ）
a． b．c． d．
提示：可转化为和在利用函数单调性可得。
4) 如右图是定义在闭区间上的函数的图象，该函数的单调增区间为。
例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间。
例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．
例4.设是定义在r上的函数，对、恒有，且当时，。
1）求证2）证明：时恒有；
3）求证：在r上是减函数； （4）若，求的范围。
解：(1)取m=0，n= 则，因为所以。
(2)设则由条件可知。
又因为，所以 ∴时，恒有。3）设则。
因为所以所以即。
又因为，所以所以，即该函数在r上是减函数。
4) 因为，所以。
所以，所以。
例5：（复合函数单调性）1.函数的增区间是（ ）
a． [3,1] b． [1,1] c． d．
2.函数y＝的单调递增区间为（ ）
a． b． c． d．
题型五：周期问题。
例6．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。
证明：；求的解析式；
求在上的解析式。
解：∵是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，
当时，由题意可设，由得，∴，
∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，可设，而，，∴当时，从而当时，，故时，。
当时，有，。
当时，。
函数的基本性质复习教案
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高考复习 函数的基本性质
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