课题：3.4-2-函数的基本性质-函数的单调性。
教学目标：掌握函数单调性的概念，会判断一些函数的单调性；掌握单调函数图像的性质；能够初步应用函数单调性。
通过函数单调性概念的形成过程，培养用运动变化的观点和数形结合思想进行观察、归纳，提高抽象能力。
培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。
教学重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。
教学难点：函数单调性概念。
第1课时：[重点：函数单调性概念及其判断；难点：函数单调性概念的形成]
教学过程：一、设置问题情境：
引例] 学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。考虑到花坛的实用性和周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于3米，求花坛长与宽两边之和的最小值和最大值。
思考：1．如何把实际问题归结为数学问题？
经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米， 则3≤x≤10，另一边为米，求两边之和f(x)＝x＋（3≤x≤10）的最小值和最大值。
2．如何求最小值？——运用不等式基本性质。
x＋≥8，当且仅当x＝4时，x＋有最小值8。
3．如何求最大值？——研究f(x)随x的变化而变化的规律。
研究实际生活中的数据曲线和一次函数、反比例函数、二次函数的图像，寻找函数f(x)随x的变化而变化的规律。(有ppt课件)
课题：如何用x与f(x)来描述上升的函数图像？
如何用数量关系来刻画“x变大时，f(x)也随之变大”呢？
提示：研究偶函数时，由p1（x1，f(x1)）与点p2（x2，f(x2)）关于y轴对称，得到x2＝－x1，f(x2)＝f(x1)，即f(－x1)＝f(x1) —用数量关系表示图形性质。
研究：在函数图像上找两点q1（x1，f(x1)）与点q2（x2，f(x2)），两点的位置关系如何？能否用数量关系来表示呢？
容易发现：x1＜x2，f(x1)＜f(x2)
即：若点p1（x1，f(x1)）与p2（－x1，f(－x1)）在上升的函数图像上，则x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)。
显然逆命题也成立：若点p1（x1，f(x1)）与p2（－x1，f(－x1)）满足x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)，则点p1与p2在上升的函数图像上。
重要发现：x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)是点p1（x1，f(x1)）与点p2（－x1，f(－x1)）在上升的函数图像上的充要条件！
推断：只要证明函数图像上的任意两点p1（x1，f(x1)）与p2（－x1，f(－x1)）均满足x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)，则函数图像必定是上升的。
研究结论：图像上升的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域d内给定的区间i上的任意两个值x1、x2，当x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2) 。
称函数y＝f(x)在区间i上是增函数。
类比：图像下降的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域d内给定的区间i上的任意两个值x1、x2，当x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2) 。
称函数y＝f(x)在区间i上是减函数。
—函数的这两种性质都叫做函数的单调性。
研读定义：1) 函数的单调性是在函数定义域d内的某个区间上的性质，这个区间叫做单调区间。
2) 判断一个函数在某个区间上的单调性时，用任意性进行证明；判断一个函数在某个区间上不具有单调性时，只需要举出一个反例即可。
练习：教材p.69练习3.4(2)-1：指出单调递增区间和单调递减区间。
例1] 证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞上是增函数。 教材p.68-例4
证明：设x1、x2∈r，且x1＜x2
f(x2)－f(x1)＝(3x2＋2)－(3x1＋2)＝3(x2－x1)
x1＜x2 即x2－x1＞0 ∴f(x2)－f(x1)＞0即f(x1)＜f(x2)
则f(x)＝3x＋2在区间(－∞上是增函数。
反思：严格按照定义运用作差比较法进行证明。
例2] 证明函数f(x)＝在区间(0，＋∞上的单调性。 教材p.68-例5
证明：设0＜x1＜x2
f(x2)－f(x1)＝－
0＜x1＜x2 即x2＋x1＞0，x1－x2＜0，x22x12＞0 ∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x1)＞f(x2)
则f(x)＝在区间(0，＋∞上是减函数。
反思：证明要有依据。
例3] 判断函数f(x)＝x2－2x的单调性，指出它的单调区间，并加以证明。
解：∵f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1 ——数形结合即可判断。
f(x)的单调递减区间为(－∞1)，单调递增区间为(1，＋∞
证明略。反思：1．你是如何判断函数的单调区间的？ 2．证明过程中用到了哪些知识？
引例]的继续：判断函数f(x)＝x＋(x＞0)的单调区间，并进行证明。
分析：至少有四个途径可以研究此函数的单调性。
途径1：数值分析：取若干特殊值x等，研究f(x)的变化规律。
途径2：作图像：列表描点连线作图法或者利用和函数作图法(比较准确)。
途径3：证明过程中的判断。
途径4：由取到最小值的x值来划分区间。
结论：f(x)的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(4，＋∞
证明略。—如何用函数的单调性求函数的最值，作为思考题，待下一节课解决。
课堂小结：数学知识：函数单调性的概念；判断函数单调区间的常用方法。
数学思想：运用数学知识解决实际问题的思想方法。
第1课时作业：《练习册》p.33-习题3.4-a组
一课一练》p.74-6～10，p.76-7 (做在作业本上)
选做：p.74-11
第2课时：[重点：函数单调性的应用；难点：函数单调性的应用]
教学过程：复习函数单调性的概念、判断方法。
证明：(1) f(x)＝x2－4x在区间(2，＋∞上是增函数；
2) f(x)＝在区间(0，＋∞上是减函数。——学生板书，规范表达能力。
研究：分析f(x)＝的单调性：在(－∞0)上是减函数，在(0，＋∞上也是减函数。
反思：能否说f(x)＝在定义域上是减函数？——对定义的重新认识。
练习：《一课一练》p.74-1～4
例1] 已知函数f(x)在区间(0，＋∞上是增函数，判断下列各值的大小：
1) f(1)与f(2)；(2) f(a2＋a＋2)与f(1)；(3) f(a2＋1)与f(2)
解：(1) ∵f(x)在区间(0，＋∞上是增函数，0＜1＜2 ∴f(1)＜f(2)
2) ∵f(x)在区间(0，＋∞上是增函数， a2＋a＋2＝(a＋)2＋＞1
f(a2＋a＋2)＞f(1)
3) ∵f(x)在区间(0，＋∞上是增函数，
① 当a2＋1＞2即a＜－1或a＞1时，f(a2＋1)＞f(2)
当a2＋1＝2即a＝－1或a＝1时，f(a2＋1)＝f(2)
当a2＋1＜2即－1＜a＜1时，f(a2＋1)＜f(2)
研究：如果把函数的奇偶性和函数的单调性放在一起研究，会得到一些怎样的结论呢？
课题1：研究偶函数的单调性。
研究结论：偶函数定义域上对称的两个区间上的单调性相反。
课题2：研究奇函数的单调性。
研究结论：奇函数定义域上对称的两个区间上的单调性一致。
例2]已知偶函数f(x)定义域为r，且f(x)在区间(0，＋∞上是减函数，判断f(2)与f(－3)的大小。
解：∵f(x)为偶函数 ∴f(－3)＝f(3)
f(x)在区间(0，＋∞上是减函数，且0＜2＜3 ∴f(2)＜f(3) 即f(2)＜f(－3)
练习：已知奇函数f(x)定义域为r，且f(x)在区间(－∞0)上是增函数，判断f(4)与f(2)的大小。
解1：∵f(x)为奇函数 ∴f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)
f(x)在区间(－∞0)上是增函数，且－4＜－2＜0 ∴f(－4)＜f(－2)
即－f(－4)＞－f(－2) 则f(4)＞f(2)
解2：∵f(x)为奇函数，f(x)在区间(－∞0)上是增函数。
f(x)在区间(0，＋∞上也是增函数。
4＞2＞0 ∴f(4)＞f(2)
例3] 已知奇函数f(x)在r上是增函数，且f(a2＋a)＋f(3a－5)＞0，求实数a的取值范围。
解：∵f(a2＋a)＋f(3a－5)＞0 ∴f(a2＋a)＞－f(3a－5)
f(x)为奇函数 ∴f(5－3a)＝－f(3a－5) 得f(a2＋a)＞f(5－3a)
f(x)在r上是增函数 ∴a2＋a＞5－3a
解得：a＜－5或a＞1
反思：利用函数单调性由函数值的大小关系转化为自变量的大小关系。
例4]《一课一练》p.76-8。——详见书本。
引例]的继续：求函数f(x)＝x＋(3≤x≤10)的最大值。
f (x)在[3，4]上单调递减 ∴ 当3≤x≤4时，f(x)≤f(3)＝3＋＝
f (x)在[4，10]上单调递增 ∴ 当4≤x≤10时，f(x)≤f(10)＝10＋＝
则f(x)＝x＋(3≤x≤10)的最大值为。
课堂小结：数学知识：函数单调性的概念；判断函数单调区间的常用方法。
数学思想方法：化归思想、分类讨论思想。
第2课时作业：
1、已知奇函数f(x)在[a，b](0＜a＜b)上单调递减，判断f(x)在[－b，－a]上的单调性并证明。
2、已知函数f(x)在区间(0，＋∞上是减函数，判断下列各对值的大小：
(1) f(3)与f(2)；(2) f(a2－2a＋3)与f(1)；(3) f(a2＋1)与f(2)
3、已知奇函数f(x)定义域为r，且f(x)在区间(－∞0)上是增函数，判断f(4)与f(2)的大小。
4、《一课一练》p.76-8
5、已知奇函数f(x)在r上是增函数，且f(a2＋a)＋f(3a－5)＞0，求实数a的取值范围。
函数的基本性质单调性
课题 3.4 2 函数的基本性质 函数的单调性。教学目标 1.掌握函数单调性的概念，会判断一些函数的单调性 掌握单调函数图像的性质 能够初步应用函数单调性。2.通过函数单调性概念的形成过程，培养用运动变化的观点和数形结合思想进行观察 归纳，提高抽象能力。3.培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。教...
函数的基本性质单调性
课题 3.4 2 函数的基本性质 函数的单调性教学目标 掌握函数单调性的概念，会判断一些函数的单调性 掌握单调函数图像的性质 能够初步应用函数单调性。通过函数单调性概念的形成过程，培养用运动变化的观点和数形结合思想进行观察 归纳，提高抽象能力。培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。教学重点 函数单...
函数的基本性质单调性
显然逆命题也成立 若点p1 x1，f x1 与p2 x1，f x1 满足x1 x2，f x1 f x2 或者x1 x2，f x1 f x2 则点p1与p2在上升的函数图像上。重要发现 x1 x2，f x1 f x2 或者x1 x2，f x1 f x2 是点p1 x1，f x1 与点p2 x1，f x...