知识点与例题讲解。
基础知识回顾】
一、函数的单调性。
判断函数单调性的常用方法：
定义法：在区间上是增（减）函数当时；
注意：（单调性的判定定义法）一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
导数法：区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。
注意：证明单调性主要用定义法和导数法。
复合函数法 ;
图像法。课前小测】
1．函数在r上是减函数，则有( )
a、 b、 cd、无法确定。
2．函数在r上( )
a、是增函数 b、是减函数c、是增函数又是减函数 d、不具有单调性。
3．函数的单调增区间是( )
a、rb、 cd、
4．函数在区间上( )
a、是增函数 b、是减函数c、是增函数又是减函数 d、不具有单调性。
5．设是定义在r上的函数，则：
若存在，，使成立，则函数在r上单调递增；
若存在，，使成立，则函数在r上不可能单调递减；
若存在，对于任意，都有成立，则函数在r上单调递增；
对任意，，都有成立，则函数在r上单调递减。
以上命题正确的序号是( )
abcd、②
考点二：函数单调性的判定及应用。
1．函数的单调性的判断。
例1、讨论函数在上的单调性。
思路点拨】判断和证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数。
解析】方法一（定义法）：设，则。
，，又因为，所以，，所以函数在上为减函数。
方法二（导数法）：，又因为，，，所以函数在上为减函数。
例2、求函数的单调区间。
解析】设，，由，得或，结合二次函数的图像可知，函数在上是递减的，在上是递增的。
又因为函数是递增的，所以函数在上是递减的，在上是递增的。
例3、已知函数是奇函数，且在上是增函数，在上是增函数还是减函数？并证明你的结论。
解析】设，∈且，则，，且，又 ∵在上是增函数， ∴
是奇函数 ∴
由， 可得 ∴
函数在上是增函数。
变式1：1．已知函数。
1）判断函数的单调性，并证明； （2）求函数和最大值和最小值。
2．（09佛山）函数的单调递增区间是单调递减区间是。
2．函数单调性的应用。
比较两个函数值或两个自变量的大小。
例1、若二次函数的图象的对称轴是，则有（ ）
a、 b、 c、 d、
答案】b变式2：
1．设为偶函数，且在上为增函数，则、、从小到大排列为2．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则、、的大小关系是。
a、 b、c、 d、
利用函数单调性解函数不等式。
例1、已知定义域为的奇函数又是减函数，且，则的取值范围是( )
a、 b、 c、 d、
解析】因为，则，因为是奇函数，所以，又因为是定义域为的减函数，所以，解得：，选a
答案】a例2、已知是定义在上的增函数，且满足，。
求证：； 求不等式的解。
解析】⑴ 证明：
因为， 因为是定义在上的增函数。
所以，即，解得。
利用函数单调性求参数的取值范围。
例．【2010·北京市东城区二模】若函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
a、 b、 c、 d、
解析】依题意，，解得，选择b.
答案】ｂ2．【2010·郑州市三模】已知关于的函数在上是减函数，则的取值范围是( )
abcd、
解析】依题意，且，所以在上是减函数，因此，解得选择b.
答案】ｂ高考检阅。
1．【2010·黄岗中学八月月考】 设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，已知，且，那么一定有（ ）
a、 b、 c、 d、
2．【2010·重庆四月模拟试卷】函数是定义在实数集上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
ab、 cd、
3．【2009陕西卷】定义在r上的偶函数满足：对任意的，有。则当时，有。
ab、 cd、
4．【2010·云南省第一次复习统一检测】已知减函数的定义域是实数集，、都是实数。如果不等式成立，那么下列不等式成立的是（ ）
a、 b、 c、 d、
5．【2010·重庆八中第一次月考】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
a、 b、 c、 d、
6．【2010黄冈中学5月第一模拟考试】若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
a、 b、 c、 d、
随堂巩固。1．在区间上为增函数的是。
a、 b、 c、 d、
2．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
a、 bcd、
3．若奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么它在区间[-7，-3]上是（ ）
a、增函数且最小值为 b、增函数且最大值为。
c、减函数且最小值为 d、减函数且最大值为。
4．若函数是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则（ ）
a、 b、 c、 d、
5．函数的递减区间为 （
ab、 c、 d、
6．已知函数是上的减函数，那么的取值范围是( )
abcd、
7．已知单调函数满足，且，其定义域为。
（1）求、、的值；
（2）解不等式。
8．已知函数的定义域为，对任意实数，都有：且在定义域上单调递减。
（1）求证：；
（2）求证：为奇函数；
3）解不等式。
第六节函数的基本性质（单调性）答案。
课前小测】1．c 2．a 3．d 4．d 5．b
变式1：1．【解析】（1）函数为增函数，又因为，设，所以。
又因为，所以，所以，
所以函数在函数为增函数。
2）因为函数在函数为增函数，，
2. 函数单调性的应用。
比较两个函数值或两个自变量的大小。
变式2： 1．【答案】＜＜
2．【答案】c
高考检阅。1．【解析】由已知得，而函数在上是增函数，因此由，则得。故选b.
答案】 b.
2．【解析】根据数形结合，可求得的范围是。
答案】d3． 【解析】因为对任意的，有，即当时，，所以在为增函数，又因为为偶函数，所以在为减函数，而，，又因为，。
答案】c4．【解析】因为是定义域为的减函数，所以-也是定义域为的减函数，则-是定义域为的减函数，由于，即，所以，，选择a.
答案】a5．【解析】依题意，化为，作出函数的。
示意图（如图），由图知，不等式解集为，选择d.
答案】d 6．【解析】因为定义域为，，由，得．
据题意，，解得。
答案】b随堂巩固。
1．c 2．a 3．b 4．d 5．a 6．d
7．【解析】（1）令，，得。
得，得。（2）∵函数为单调函数，且，∴为单调递增函数，只有一个使得。
而为单调递增函数，∴
8．【解析】（1）证明：令得：，∴
2）证明：定义域关于原点对称，令得：，∴为奇函数。
3）解：由题意可得： ∵为奇函数 ∴
定义域为且为单调递减。
解之得：.
函数的基本性质单调性
课题 3.4 2 函数的基本性质 函数的单调性。教学目标 1.掌握函数单调性的概念，会判断一些函数的单调性 掌握单调函数图像的性质 能够初步应用函数单调性。2.通过函数单调性概念的形成过程，培养用运动变化的观点和数形结合思想进行观察 归纳，提高抽象能力。3.培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。教...
函数的基本性质单调性
课题 3.4 2 函数的基本性质 函数的单调性教学目标 掌握函数单调性的概念，会判断一些函数的单调性 掌握单调函数图像的性质 能够初步应用函数单调性。通过函数单调性概念的形成过程，培养用运动变化的观点和数形结合思想进行观察 归纳，提高抽象能力。培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。教学重点 函数单...
函数的基本性质单调性
显然逆命题也成立 若点p1 x1，f x1 与p2 x1，f x1 满足x1 x2，f x1 f x2 或者x1 x2，f x1 f x2 则点p1与p2在上升的函数图像上。重要发现 x1 x2，f x1 f x2 或者x1 x2，f x1 f x2 是点p1 x1，f x1 与点p2 x1，f x...