函数的基本性质单调性

发布 2022-09-23 01:52:28 阅读 7803

显然逆命题也成立:若点p1(x1,f(x1))与p2(-x1,f(-x1))满足x1<x2,f(x1)<f(x2)或者x1>x2,f(x1)>f(x2),则点p1与p2在上升的函数图像上。

重要发现:x1<x2,f(x1)<f(x2)或者x1>x2,f(x1)>f(x2)是点p1(x1,f(x1))与点p2(-x1,f(-x1))在上升的函数图像上的充要条件!

推断:只要证明函数图像上的任意两点p1(x1,f(x1))与p2(-x1,f(-x1))均满足x1<x2,f(x1)<f(x2)或者x1>x2,f(x1)>f(x2),则函数图像必定是上升的。

研究结论:图像上升的函数具有以下特征:对于函数f(x)定义域d内给定的区间i上的任意两个值x1、x2,当x1<x2,都有f(x1)<f(x2) 。

称函数y=f(x)在区间i上是增函数。

类比:图像下降的函数具有以下特征:对于函数f(x)定义域d内给定的区间i上的任意两个值x1、x2,当x1<x2,都有f(x1)>f(x2) 。

称函数y=f(x)在区间i上是减函数。

—函数的这两种性质都叫做函数的单调性。

研读定义:1) 函数的单调性是在函数定义域d内的某个区间上的性质,这个区间叫做单调区间。

2) 判断一个函数在某个区间上的单调性时,用任意性进行证明;判断一个函数在某个区间上不具有单调性时,只需要举出一个反例即可。

练习:教材p.69练习3.4(2)-1:指出单调递增区间和单调递减区间。

例1] 证明函数f(x)=3x+2在区间(-∞上是增函数。 教材p.68-例4

证明:设x1、x2∈r,且x1<x2

f(x2)-f(x1)=(3x2+2)-(3x1+2)=3(x2-x1)

x1<x2 即x2-x1>0 ∴f(x2)-f(x1)>0即f(x1)<f(x2)

则f(x)=3x+2在区间(-∞上是增函数。

反思:严格按照定义运用作差比较法进行证明。

例2] 证明函数f(x)=在区间(0,+∞上的单调性。 教材p.68-例5

证明:设0<x1<x2

f(x2)-f(x1)=-

0<x1<x2 即x2+x1>0,x1-x2<0,x22x12>0 ∴f(x2)-f(x1)<0即f(x1)>f(x2)

则f(x)=在区间(0,+∞上是减函数。

反思:证明要有依据。

例3] 判断函数f(x)=x2-2x的单调性,指出它的单调区间,并加以证明。

解:∵f(x)=x2-2x=(x-1)2-1 ——数形结合即可判断。

f(x)的单调递减区间为(-∞1),单调递增区间为(1,+∞

证明略。反思:1.你是如何判断函数的单调区间的? 2.证明过程中用到了哪些知识?

引例]的继续:判断函数f(x)=x+(x>0)的单调区间,并进行证明。

分析:至少有四个途径可以研究此函数的单调性。

途径1:数值分析:取若干特殊值x等,研究f(x)的变化规律。

途径2:作图像:列表描点连线作图法或者利用和函数作图法(比较准确)。

途径3:证明过程中的判断。

途径4:由取到最小值的x值来划分区间。

结论:f(x)的单调递减区间为(0,4),单调递增区间为(4,+∞

证明略。—如何用函数的单调性求函数的最值,作为思考题,待下一节课解决。

课堂小结:数学知识:函数单调性的概念;判断函数单调区间的常用方法。

数学思想:运用数学知识解决实际问题的思想方法。

第1课时作业:《练习册》p.33-习题3.4-a组

一课一练》p.74-6~10,p.76-7 (做在作业本上)

选做:p.74-11

第2课时:[重点:函数单调性的应用;难点:函数单调性的应用]

教学过程:复习函数单调性的概念、判断方法。

证明:(1) f(x)=x2-4x在区间(2,+∞上是增函数;

2) f(x)=在区间(0,+∞上是减函数。——学生板书,规范表达能力。

研究:分析f(x)=的单调性:在(-∞0)上是减函数,在(0,+∞上也是减函数。

反思:能否说f(x)=在定义域上是减函数?——对定义的重新认识。

练习:《一课一练》p.74-1~4

例1] 已知函数f(x)在区间(0,+∞上是增函数,判断下列各值的大小:

1) f(1)与f(2);(2) f(a2+a+2)与f(1);(3) f(a2+1)与f(2)

解:(1) ∵f(x)在区间(0,+∞上是增函数,0<1<2 ∴f(1)<f(2)

2) ∵f(x)在区间(0,+∞上是增函数, a2+a+2=(a+)2+>1

f(a2+a+2)>f(1)

3) ∵f(x)在区间(0,+∞上是增函数,

① 当a2+1>2即a<-1或a>1时,f(a2+1)>f(2)

当a2+1=2即a=-1或a=1时,f(a2+1)=f(2)

当a2+1<2即-1<a<1时,f(a2+1)<f(2)

研究:如果把函数的奇偶性和函数的单调性放在一起研究,会得到一些怎样的结论呢?

课题1:研究偶函数的单调性。

研究结论:偶函数定义域上对称的两个区间上的单调性相反。

课题2:研究奇函数的单调性。

研究结论:奇函数定义域上对称的两个区间上的单调性一致。

例2]已知偶函数f(x)定义域为r,且f(x)在区间(0,+∞上是减函数,判断f(2)与f(-3)的大小。

解:∵f(x)为偶函数 ∴f(-3)=f(3)

f(x)在区间(0,+∞上是减函数,且0<2<3 ∴f(2)<f(3) 即f(2)<f(-3)

练习:已知奇函数f(x)定义域为r,且f(x)在区间(-∞0)上是增函数,判断f(4)与f(2)的大小。

解1:∵f(x)为奇函数 ∴f(2)=-f(-2),f(4)=-f(-4)

f(x)在区间(-∞0)上是增函数,且-4<-2<0 ∴f(-4)<f(-2)

即-f(-4)>-f(-2) 则f(4)>f(2)

解2:∵f(x)为奇函数,f(x)在区间(-∞0)上是增函数。

f(x)在区间(0,+∞上也是增函数。

4>2>0 ∴f(4)>f(2)

例3] 已知奇函数f(x)在r上是增函数,且f(a2+a)+f(3a-5)>0,求实数a的取值范围。

解:∵f(a2+a)+f(3a-5)>0 ∴f(a2+a)>-f(3a-5)

f(x)为奇函数 ∴f(5-3a)=-f(3a-5) 得f(a2+a)>f(5-3a)

f(x)在r上是增函数 ∴a2+a>5-3a

解得:a<-5或a>1

反思:利用函数单调性由函数值的大小关系转化为自变量的大小关系。

例4]《一课一练》p.76-8。——详见书本。

引例]的继续:求函数f(x)=x+(3≤x≤10)的最大值。

f (x)在[3,4]上单调递减 ∴ 当3≤x≤4时,f(x)≤f(3)=3+=

f (x)在[4,10]上单调递增 ∴ 当4≤x≤10时,f(x)≤f(10)=10+=

则f(x)=x+(3≤x≤10)的最大值为。

课堂小结:数学知识:函数单调性的概念;判断函数单调区间的常用方法。

数学思想方法:化归思想、分类讨论思想。

第2课时作业:

1、已知奇函数f(x)在[a,b](0<a<b)上单调递减,判断f(x)在[-b,-a]上的单调性并证明。

2、已知函数f(x)在区间(0,+∞上是减函数,判断下列各对值的大小:

(1) f(3)与f(2);(2) f(a2-2a+3)与f(1);(3) f(a2+1)与f(2)

3、已知奇函数f(x)定义域为r,且f(x)在区间(-∞0)上是增函数,判断f(4)与f(2)的大小。

4、《一课一练》p.76-8

5、已知奇函数f(x)在r上是增函数,且f(a2+a)+f(3a-5)>0,求实数a的取值范围。

函数的基本性质单调性

课题 3.4 2 函数的基本性质 函数的单调性。教学目标 1.掌握函数单调性的概念,会判断一些函数的单调性 掌握单调函数图像的性质 能够初步应用函数单调性。2.通过函数单调性概念的形成过程,培养用运动变化的观点和数形结合思想进行观察 归纳,提高抽象能力。3.培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。教...

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