2函数的基本性质

函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的。

i．函数的定义。

设a，b都是非空的数集，f是从a到b的一个对应法则。那么，从a到b的映射f：a→b就叫做从a到b的函数。

记做y=f(x)，其中x∈a，y∈b，原象集合，a叫做函数f(x)的定义域，象的集合c叫做函数的值域，显然cb.

ii．函数的性质。

1）奇偶性设函数f(x)的定义域为d，且d是关于原点对称的数集。若对任意的x∈d，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈d，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数。

2）函数的增减性设函数f(x)在区间d′上满足：对任意x1, x2∈d′，并且x1f(x2)),则称f(x)在区间d′上的增函数（减函数），区间d′称为f(x)的一个单调增（减）区间。

iii．函数的周期性。

对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数t，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+t)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，t称做这个周期函数的周期。如果函数f(x)的所有周期中存在最小值t0，称t0为周期函数f(x)的最小值正周期。

1．已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(

a.在区间(－2，0)上单调递增 b.在(0，2)上单调递增。

c.在(－1，0)上单调递增 d.在(0，1)上单调递增。

提示：可用图像，但是用特殊值较好一些。选c

2．设f(x)是r上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当时，f(x)＝x，则f(2003)＝(

a.－1 b.0 c.1 d.2003

解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)，得f(x)的周期为6，选a

3．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )

a.150bc.152d.

提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝，于是这101个根的分布也关于该对称轴对称。即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称，利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150，所有101个根的和为×101＝.

选b4．实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y

解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解。注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法。

(x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0， x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0，∴ x＝sin(xy)＝±1，∴ siny＝1 xsin(xy)＝1

原式＝75．已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c

解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？

)，由已知变形得x－， x2－2x＋19＝99，即 x2－80＝2x，再平方得x4－160x2＋6400＝76x2，即 x4－236x2＋6400＝0，∴ b＝－236，c＝6400，b＋c＝6164

6．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4.

7．已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为m，求证：m≥.

8．⑴解方程：(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0

解方程： 9．设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求 [f⑷＋f(0)]的值。

10．设f(x)＝x4－4x3＋x2－5x＋2，当x∈r时，求证：|f(x)|≥

1. 已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝(

a.3 b.－3 c.5 d.－5

2. 已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值。

3. 解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0

4. 若函数y＝log3(x2＋ax－a)的值域为r，则实数a的取值范围是。

5. 函数y＝的最小值是。

6. 已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞，若0＜t＜x1，试比较f(t)与x1的大小。

7. f(x)，g(x)都是定义在r上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时。

求证：存在实数x，y，使得。

8. 设a，b，c∈r，|x|≤1，f(x)＝ax2＋bx＋c，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax＋b|≤4.

9．已知函数f(x)＝x3－x＋c定义在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2.

求证：|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|；

求证：|f(x1)－f(x2)|＜1.