1．函数的单调性。
两种形式。设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么。
＞0f(x)在[a，b]上是增函数；＜0
f(x)在[a，b]上是减函数．
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0f(x)在[a，b]上是增函数；
x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0f(x)在[a，b]上是减函数．
一个防范。函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在(－∞0)，(0，＋∞内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞0)∪(0，＋∞内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞0)和(0，＋∞不能用“∪”连接．
函数单调性的判断。
1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．
2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．
设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) ,a是y= f[g(x)]定义域的某个区间，b是映射g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 a上是增（或减）函数，y= f(u)在b上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在a上是增函数；
若u=g(x)在a上是增（或减）函数，而y= f(u)在b上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在a上是减函数。
3)导数法：利用导数研究函数的单调性．
4)图象法：利用图象研究函数的单调性．
5）简单性质。
奇函数在其对称区间上的单调性相同；
偶函数在其对称区间上的单调性相反；
在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
2．函数的最值。
1．(2013·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是___
解析要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，即x＞－，而y＝log5u为(0，＋∞上的增数，当x＞－时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是。
2.函数y＝的单调递增区间为（ ）
a． b． c． d．
3.函数的单调递增区间是 （
a. b.(0,3) c.(1,4) d.
4．(2014·保定一中质检)已知f(x)为r上的减函数，则满足a．(－1,1b．(0,1)
c．(－1,0)∪(0,1d．(－1)∪(1，＋∞
解析由已知条件： >1，不等式等价于解得－15. 函数)是单调函数的充要条件是( )
a． b． c． d．
6..已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ ）
a． b．
c． d．
7．已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
abcd.
8．如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为，那么在区间上是（ ）
a.增函数且最小值为 b.增函数且最大值为
c.减函数且最小值为 d.减函数且最大值为。
9.已知函数f(x)对于任意x，y∈r，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－
1)求证：f(x)在r上是减函数；
2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
审题视点] 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．
1)证明法一 ∵函数f(x)对于任意x，y∈r总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在r上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
因此f(x)在r上是减函数．
法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)
f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在r上为减函数．
2)解 ∵f(x)在r上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
10.设是定义在r上的函数，对、恒有，且当时，。
1）求证2）证明：时恒有；
3）求证：在r上是减函数； （4）若，求的范围。
解：(1)取m=0，n=则，因为所以。
(2)设则由条件可知。
又因为，所以
时，恒有。3）设则。
因为所以所以即。
又因为，所以所以，即该函数在r上是减函数。
4) 因为，所以。
所以，所以。
11．已知函数在定义域上为增函数，且满足。
1)求的值2)解不等式。
12.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
利用函数性质求f(x)的最值，从而解不等式f(x)min≥a，得a的取值范围．解题过程中要注意a的范围的讨论．
解答示范] ∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴此二次函数图象的对称轴为x＝a
1)当a∈(－1)时，f(x)在[－1，＋∞上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a＜－1.
2)当a∈[－1，＋∞时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2－a2≥a(10分)解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.
综上所述，实数a的取值范围为[－3,1]
13.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是___
解析法一当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0可化为：m<－，又函数f(x)＝－在(1,2)上递增，则f(x)>－5，则m≤－5.
法二设g(x)＝x2＋mx＋4
当－≤，即m≥－3时，g(x)＜g(2)＝8＋2m，当－＞，即m＜－3时，g(x)＜g(1)＝5＋m
由已知条件可得：或。
解得m≤－5
函数的奇偶性与周期性。
1．奇偶性。
1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) =f(x) 或 f(－x)－f(x) =0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =f(x) 或 f(－x)＋f(x) =0，则f(x)是奇函数。
3）简单性质：
图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。
4．周期性。
1）定义：如果存在一个非零常数t，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+t)= f(x)，则称f(x)为周期函数；
2）性质：①f(x+t)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为t，则f(ωx)（ω0）是周期函数，且周期为。
1.．若函数f(x)= 与g(x)=的定义域均为r，则（ ）
a．f(x)与g(x)均为偶函数 b．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数。
c．f(x)与g(x)均为奇函数 d．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数。
2. 下列函数为偶函数的是（ ）
3.下列函数：
f(x)＝＋f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；f(x)＝；f(x)＝lg.其中奇函数的个数是( )
a．2b．3c．4 d．5
审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断．
解析 ①f(x)＝＋的定义域为，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝＋是奇函数，也是偶函数；
f(x)＝x3－x的定义域为r，又f(－x)＝(x)3－(－x)＝－x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；
函数的基本性质
函数的基本性质2011.07 班级姓名学号成绩。一。填空题。1.函数y 3 的值域是。答案 2 提示 y 3 当x 1时，ymax 2.又在 1，中是增函数，因此y无最小值，故y 2 2.函数y x 1 的最小值是。答案 2.提示 y x 1 2 2 当且仅当x 时等号成立 3.函数y 的值域为。答...
函数的基本性质
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函数的基本性质
高考成绩的取得 于平时对基础知识的巩固 审题及计算能力的培养 解题思想及方法的总结。胶南五中2011 2012学年度第一学期高三数学 文科 学案命题人 崔伟审核人 周斌。使用时间年月日二次批阅时间班级 姓名 课题函数及其基本性质编号 18 学习要求 1 了解映射的概念，理解函数的概念 数学探索版权所...