函数的简单性质

2.1.3 函数的简单性质（2）

教学目标：1．进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；

2．通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．

教学重点：利用函数的单调性求函数的值域．

教学过程：一、问题情境。

1．情境．1）复述函数的单调性定义；

2）表述常见函数的单调性．

2．问题．结合函数的图象说出该天的气温变化范围．

二、学生活动。

1．研究函数的最值；

2．利用函数的单调性的改变，找出函数取最值的情况；

三、数学建构。

1．函数的值域与函数的最大值、最小值：

一般地，设y＝f(x)的定义域为a．若存在x0a，使得对任意xa， f(x)≤

f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．

若存在定值x0a，使得对任意xa，f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝ f(x0)．

注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，当a＞0时，函数有最小值；当a＜0时，函数有最大值．

2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．

2．函数的最值与单调性之间的关系：

已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x[c，b] 时，f(x)是单调减函数．则f(x)在x＝c时取得最大值．反之，当x[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x[c，b] 时，f(x)是单调增函数．则f(x)在x＝c时取得最小值．

四、数**用。

例1 求出下列函数的最小值：

1）y＝x2－2x；（2）y＝，x∈[1，3]．

变式：1）将y＝x2－2x的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值．

2）将y＝的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？

跟踪练习：求f(x)＝－x2＋2x在[0，10]上的最大值和最小值．

例2 已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数．试证明f(x)在x＝c时取得最大值．

变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．

例3 求函数f(x)＝x2－2ax在[0，4]上的最小值．

练习：如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值．

求下列函数的值域：

1）y＝，x[0，3]；

2） y＝，x[2，6]；

3）y＝；4）y＝．

五、回顾小结。

利用图形，感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．

六、作业。课堂作业：课本37页第3题，43页第3题．

函数的简单性质

一。函数定义域。1.求函数的定义域的主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 2.抽象函数型。抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有四种情况。类型1 已知的定义域，求复合函数的定义域。解法 若的...

函数的简单性质

函数的基本性质练习题1 一 选择题 1 下面说法正确的选项。a 函数的单调区间可以是函数的定义域。b 函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间。c 具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称。d 关于原点对称的图象一定是奇函数的图象。2 在区间上为增函数的是。a b c d 3 函数是单调函数时，的取...

函数的简单性质

2.1.2 函数的简单性质。重难点 领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值 函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定 函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性 单调性的理解和应用...