函数的简单性质

2.1.2 函数的简单性质。

重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．

考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；

会运用函数图像理解和研究函数的性质．

经典例题：定义在区间（－∞上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞上图象与f（x）的图象重合。设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是。

f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）

③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

a．①④b．②③c．①③d．②④

当堂练习：

1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于 （

a．-3 b．13 c．7 d．含有m的变量

2．函数是（ ）

a． 非奇非偶函数 b．既不是奇函数，又不是偶函数奇函数 c． 偶函数 d． 奇函数。

3．已知函数(1), 2),(3)

4),其中是偶函数的有（ ）个。

a．1 b．2 c．3 d．4

4．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为 （

5．已知映射f:ab,其中集合a=,集合b中的元素都是a中元素在映射f下的象，且对任意的，在b中和它对应的元素是，则集合b中元素的个数是（ ）

a．4 b．5 c．6 d．7

6．函数在区间[0, 1]上的最大值g(t)是。

7． 已知函数f(x)在区间上是减函数，则与的大小关系是 ．

8．已知f(x)是定义域为r的偶函数，当x<0时， f(x)是增函数，若x1<0,x2>0,且，则和的大小关系是 ．

9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于___对称．

10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是，若点a在f作用下的对应点是b(2,0),则点a坐标是 ．

13. 已知函数，其中，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．

14．已知函数，常数。

1）设，证明：函数在上单调递增；

2）设且的定义域和值域都是，求的最大值．

13.(1)设f(x)的定义域为r的函数，求证： 是偶函数；

是奇函数。2)利用上述结论，你能把函数表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．

14. 在集合r上的映射：,.

1)试求映射的解析式；

2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间；

3) 求函数f(x)的单调区间。

参***：经典例题：

解析：本题可采用三种解法。

方法一：直接根据奇、偶函数的定义．

由f（x）是奇函数得f（－a）=－f（a），f（－b）=－f（b），g（a）=f（a），g（b）=f（b），g（－a）=g（a），g（－b）=g（b）．

以上四个不等式分别可简化为①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.

又∵f（x）是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f（a）＞f（b）＞f（0）=0，从而以上不等式中①、③成立。故选c.

方法二：结合函数图象．

由下图，分析得f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a），f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）．

从而根据所给结论，得到①与③是正确的。故选c．

方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可验证正确的是①与③，故选c．

答案：c当堂练习：

b ; 2. d ; 3. b ;4. d ;5. a ; 6. ;7. ;

8. >9. x=-1; 10. (

11. 解： (1)函数，设时，

所以在区间上单调递增；

2)从而当x=1时，有最小值．

12. 解：（1）任取，，且，， 因为，，所以，即，故在上单调递增．

2）因为在上单调递增，的定义域、值域都是，即是方程的两个不等的正根有两个不等的正根．

所以，时，取最大值．

13.解： (1)利用定义易证之； (2)由(1)得=．

14. 解： (1)； 2)当时， f1(x)单调递减， 当时， f1(x)单调递增； 当时， f2(z) 单调递减， 当时， f1(x)单调递增．

3) 当和时， f(x)分别单调递减；

当和分别单调递增．

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