三角函数 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
函数名正弦余弦正切余切正割余割
符号 sin cos tan cot sec csc
正弦函数 sin（a）=a/h
余弦函数 cos（a）=b/h
正切函数 tan（a）=a/b
余切函数 cot（a）=b/a
正割函数 sec (a) =h/b
余割函数 csc (a) =h/a
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2(α)cos^2(α)1
tan^2(α)1=sec^2(α)
cot^2(α)1=csc^2(α)
·商的关系：
tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
三角函数恒等变形公式：
·两角和与差的三角函数：
cos(α+cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+tanα+tanβ)/1-tanα·tanβ)
tan(α-tanα-tanβ)/1+tanα·tanβ)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)sin^2(α)2cos^2(α)1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)
·三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)3cosα
·半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=1-cosα)/sinα
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+sin(α-
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+sin(α-
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+cos(α-
sinα·sinβ=-1/2)[cos(α+cos(α-
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α2]cos[(α2]
sinα-sinβ=2cos[(α2]sin[(α2]
cosα+cosβ=2cos[(α2]cos[(α2]
cosα-cosβ=-2sin[(α2]sin[(α2]
角函数 本章教学目标
1.(1)任意角的概念以及弧度制。正确表示象限角、区间角、终边相同的角，熟练地进行角度制与弧度制的换算。
(2)任意角的三角函数定义，三角函数的符号变化规律，三角函数线的意义。
2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式。
(2)已知三角函数值求角。
3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换，理解a、ω、的物理意义。
4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性。
5.两角和与差的三角函数、倍角公式，能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明。
本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分。
三角函数是中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础，它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用。
函数的几种特性：
↑①有界性
②单调性 ③奇偶性
④周期性 公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋αsinα
cos（2kπ＋αcosα
tan（2kπ＋αtanα
cot（2kπ＋αcotα
公式二： 设α为任意角，π+的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋sinα
cos（π＋cosα
tan（π＋tanα
cot（π＋cotα
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－αsinα
cos（－αcosα
tan（－αtanα
cot（－αcotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－sinα
cos（π－cosα
tan（π－tanα
cot（π－cotα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－αsinα
cos（2π－αcosα
tan（2π－αtanα
cot（2π－αcotα
公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）cosα
cos（π/2＋α）sinα
tan（π/2＋α）cotα
cot（π/2＋α）tanα
sin（π/2－α）cosα
cos（π/2－α）sinα
tan（π/2－α）cotα
cot（π/2－α）tanα
sin（3π/2＋α）cosα
cos（3π/2＋α）sinα
tan（3π/2＋α）cotα
cot（3π/2＋α）tanα
sin（3π/2－α）cosα
cos（3π/2－α）sinα
tan（3π/2－α）cotα
cot（3π/2－α）tanα
(以上k∈z)
函数的最值问题
1．一次函数的最大值与最小值
一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．
例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．
大值a． 例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件
x＋y＋z=30，3x+y-z=50．
求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．
分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．
解从已知条件可解得
y=40-2x，z=x-10．
所以 u=5x＋4y+2z
＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)
=-x+140．
又y，z均为非负实数，所以
解得10≤x≤20．
由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．
2．二次函数的最大值与最小值
例3 已知x1，x2是方程
x-(k-2)x＋(k+3k+5)=0
解由于△=[k-2)]^2-4(k+3k+5)≥0，，所以二次方程有实根
3k＋16k＋16≤0，
例4 已知函数
有最大值-3，求实数a的值．
解因为 的范围内分三种情况讨论．
-a＋4a-1＝-3
例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形abcde(如图3－12)，其中af=2，bf=1．试在ab上求一点p，使矩形pndm有最大面积．
解设矩形pndm的边dn=x，np=y，于是矩形pndm的面积
s=xy，2≤x≤4．
易知cn=4-x，em=4-y，且有
二次函数s=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的s来说，当x=4时有最大值
例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．
解由题设知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)＋g(p)=p＋16p＋13，
所以 p＋16p+13=30，
p=1(p=-17舍去)．
由于f(x)在x=1时有最大值5，故设
f(x)=a(x-1)+5，a＜0，
所以 g(x)=x+16x+13-f(x)
=(1-a)x+2(a＋8)x＋8-a．
由于g(x)的最小值是-2，于是
解得a=-2，从而
g(x)=3x＋12x＋10．
函数的性质
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