函数单调性。
一、定义。二、判断方法。
1、定义法：
1） 取值：在函数定义域的某一子区间i内任取两个不等变量x1、x2，可设x1（2）作差（或商）变形：作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；
3）定号：确定差f(x1)-f(x2)的符号。
4）判断：根据定义得出结论。
2、函数加减运算类型：①增函数+增函数=增函数。
减函数+减函数=减函数。
3、复合函数的单调性 ： 同增异减。
三、单调区间的求解。
函数单调性、奇偶性、对称性。
一、函数的奇偶性。
1、定义。如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。
2、奇偶性的几何意义。
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。
3、函数奇偶性的判断(证明)
1)比较与的关系；
2)（）与的关系；
3)与的关系。
4、由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断。
对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：
1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：
函数、也为奇函数；
、为偶函数；
2)当和具有相异的奇偶性时，那么：
、的奇偶性不能确定；
、、为奇函数。
5、注意。若函数是偶函数，则；
若函数是偶函数，则。
同理，若是奇函数，则。
若函数是奇函数，则。
三、函数的对称性。
1、函数自对称。
1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是。
2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是。
3）关于直线对称的函数的充要条件是。
2、两个函数的图象对称性。
1）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
2）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
3）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
4）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
5）关于点对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点对称。
6）与关于直线对称。
3、几个常见的函数方程。
1）正比例函数，.
2）指数函数，.
3）对数函数，.
4）幂函数，.
5）余弦函数，正弦函数，四、函数的周期性主要结论。
1．如果函数对于一切x∈r,都有(),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数。
2．如果函数对于一切x∈r, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=（由x=确定）对称。
3. 如果函数对于一切x∈r, 都有成立， 那么函数的图像关于点对称。
4.两个函数图像之间的对称性。
1）函数与函数的图像关于直线(即y轴)对称；函数与函数的图像关于直线； 函数与函数图像关于坐标原点对称。
2）函数，的图像关于直线(由确定)对称。
3）函数与函数的图像关于直线对称（由确定。
4）函数与函数的图像关于点中心对称。
5.左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右移a、上移b个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右移a、上移b个单位，得到曲线的图像。
6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的。
7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数t。使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则的最小正周期为t，t为这个函数的一个周期。
8.如果函数是r上的奇函数，且最小正周期为t，那么。
9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为t则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的定义域无界。
10.关于函数的周期性的几个重要性质：
1）如果是r上的周期函数，且一个周期为t，那么。
2）函数图像关于轴对称。
3）函数图像关于中心对称。
4）函数图像关于轴对称，关于中心对称。
5）或或或， 则的周期t=2a
6），则的周期t=3a
7）则的周期t=4a；
则的周期t=5a；
9），则的周期t= 6a
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