一， 函数的奇偶性。
1，判定方法：（1）求定义域并验证是否关于原点对称。（2）求。
3）根据与的关系定论。
例；（12）
2，常见的几种奇偶性函数；（1）；（奇）（2）；（偶）
3）（奇）3,有关性质及结论：
（1）图像性质：为奇函数图像关于原点对称；为偶函数图像关于轴对称；给出轴右边的图像，根据函数的奇偶性，你会画轴左边的图像吗？亲。
（2）函数为奇函数函数的图像关于原点对称函数的图像关于对称。
（3）函数为偶函数函数的图像关于轴对称函数的图像关于对称。
（4）单调性判定；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数则相反。
（5）运算性质；在两个函数公共定义域内：
奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇偶=奇；奇奇=偶；偶偶=偶。
对于复合函数，“有偶则偶，同奇为奇”
例；（1）函数的奇偶性是 （2）函数的奇偶性是
（3）函数的奇偶性是 （3）函数的奇偶性是
（4）函数在上是偶函数，则。
6）常数函数一定是偶函数，（时，同时又是奇函数）； 一次函数为奇函数；二次函数为偶函数。
7）若是奇函数定义域内的元素，则函数的图像一定过原点。即。
（8）若为偶函数，则。
（9）奇函数的最大值+最小值=0
（10）若可导的函数是偶（奇函数）那么的是奇（偶函数）
例1,设是定义在r上的奇函数，当时，，则
2．已知为偶函数，为奇函数，且，则
3.若，且，则
4.已知在增函数，且是偶函数，试比较的大小。
5.若函数为偶函数，则实数=
6.若函数为奇函数，则实数。
7.已知定义在r上的奇函数和偶函数满足，若，则
8.设函数的最大值为m，最小值为m。则m+m
变式：求 9.已知则。
10.（14年湖北）已知是定义在r上的奇函数，当时，则函数的零点的集合。
11.（14湖南）若是偶函数，则
12：(15新-12)设函数则使得成立的的取值范围是
二；函数图像自身的对称性。
(1)若函数满足。则的图像关于对称。
（2）若曲线满足，则曲线关于对称。
（3）若函数满足。则的图像关于对称。
（4）若函数满足。则的图像关于对称。
（5）若函数满足。则的图像关于对称。
（6）若函数满足。则的图像关于对称。
例；（1）如果的图像与函数的图像关于原点对称，则
（2）定义在r上的函数满足，则
（3）定义在r上的函数为偶函数。满足且在上是减函数，则=
(4)设 （1）求的最小正周期，（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时，的最大值。
(5)用表示实数两数中的最小值。若函数满足。
则函数在上的值域为
注；两个函数图像间的对称不在细讲！
（4）（5）（6）两个函数关于对称的。
例：求关于对称，关于对称。
例：（15新-12）设函数的图象与的图象关于直线对称，且。
则。三；函数的周期性：
1． 定义：设函数如果存在非零实数t，使得对于任意的，都有则称为周期函数，t是的周期。
说明：（1）若t是函数的一个周期，则也是它的周期。
（2）对周期函数如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。
2.结论：（1）若满足或，则t=
（2）若满足，则。
（3）若满足。
则t=(4)若直线均是函数图像的对称轴，则为周期函数。则。
5)若点均是函数图像的对称中心，则为周期函数。则。
6)若点分别是的一个对称中心和一条对称轴，则。
7)原函数是周期为的周期函数，那么它的导函数也是周期为的周期函数。
例；（1）设是定义在r上的奇函数：且对一切都有。
则。2）已知定义在r上的奇函数满足，则方程。
在上的实根个数至少个。
（3）已知的周期是5且，则
（4）设是r上的偶函数，它的图像关于直线对称。且当时，,则当时。
5）（14年全国）奇函数的定义域为r。若为偶函数，且。
则。（6）设是定义在r上，以1为周期函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为。
(7)定义在上的可导函数是以4为周期的周期函数，且图象关于直线对称，则=
练习；（高考试题汇集）
1） 设函数的图像关于直线对称，则的值为
2） 设函数是定义在r上的奇函数，若当时，，则满足的取值范围。
3） 若满足
4） 设为定义域在r上的奇函数，当时，，则
5） 已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共个。
6） 已知是r上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图像在区间上与轴的交点的个数为
7） 设是定义在r上且周期为2的函数，在区间上，其中则
8） 已知定义域为r的函数在上为减函数，且函数为偶函数。
9） 已知函数是定义在r上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围。
10）(14安徽)若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则。
11）（14江苏）已知是定义在r上且周期为3的函数，当时，。若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是。
12)(15山东)设函数则满足的的取值范围
四：函数的单调性。
（ 一）；单调性定义及结论；
1） 给定区间d上的函数，若对于任意的，当时，都有，则为区间d上的增函数。
2） 给定区间d上的函数，若对于任意的，当时，都有，则为区间d上的减函数；
4） ，其几何意义是；为函数图像上任意两点，连线的斜率，斜率都大于零，为增，斜率都小于零，为减。
5） 函数的单调区间为定义域的子区间，求函数单调区间必须先求其定义域。
6） 由于用定义证明的单调性是充要条件，因此由是增（减函数）得；
7） 奇函数在其对称区间上的单调性相同：偶函数在其对称区间上的单调性相反，8） 若函数为增（减函数），则为减（增函数）
9） 为增（减函数）为增（减函数）则仍为增（减）
10） 是定义在m上的函数，若的单调性相同，则其复合函数为增函数，若的单调性相反，则其复合函数为减函数，二）运用导数求函数的单调性分三步；
1）求导数（2）判断在所给区间的正负 （3）判断。
题型一。比较大小。
1） 下列大小关系正确的是
2） 若则
（3）已知实数满足等式，下列五个关系式：
其中不能成立的式子有
a;1个 b；2个 c；3个 d；4个。
4）设，且函数，则下列各式中成立的是
5）已知则的大小关系
6） 已知则的大小关系
7）设，则的大小关系。
(8)(15山东)设则的大小关系
9）（15北京）设是等差数列。下列结论中正确的是
若 题型二；函数单调性的判定及求法。
（1）已知的单调增区间是单调减区间
（2）函数单调减区间是。
（3）若函数为奇函数，且在内是增函数，又则的解集为
4）（14新2）若函数在区间单调递增，则取值范围是
5）（14湖南）若，则。
6) 函数的定义域为r，，对于任意则的解集为。
理）变式（15福建）若定义在上的函数满足其导数满足
则下列结论中一定错误的是
7)已知函数的导函数为，满足且，则函数的最大值为。
理）(8)（15新-12)设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是
由此俺联想了很多；
题型三；根据函数的单调性求参数的的值或取值范围。
1）设且，函数有最小值，则不等式。
的解集。（2）函数在r上单调增，则的取值范围
（3）函数在上单调；则的取值范围
理）（4）（15北京）设函数。
若则的最小值为。
若恰有2个零点，则实数的取值范围是
5)（15安徽）函数的。
图象如图所示，则下列结论成立的是
4）已知定义域是的函数是奇函数。
求的值，若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围。
5）设。若在上存在单调增区间，求的取值范围。
函数的性质
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姓名。1 2010年广东三校模拟 定义在r上的函数f x 既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f 1 f 4 f 7 等于 2 2009年高考山东卷改编 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0,2 上是增函数，则f 25 f 11 f 80 的大小关系为 3 2009年...
函数的性质a
第一讲函数的性质。核心知识 理清知识脉络。一 知识构架。二 概念 思想方法剖析。知识点详解 请做好记录。1 集合与映射 2 函数的解析式 3 函数的定义域 4 函数的单调性 5 函数的奇偶性 6 函数的周期性 7 函数的值域与最值 8 函数的图像 9 函数的对称性。核心理念 提炼问题本质。一 基础篇...