第8课时：函数的性质。
一、学习要求：
1）了解函数奇偶性的定义并掌握证明函数奇偶性的基本方法；
2）掌握奇偶函数的对称性，并能由此解决相关的求解析式（值）以及比较大小问题．
二、课前预习：
1．给定函数：① y＝(x≠0)；②y＝x2+1；③ y＝2x；④ y＝log2x；⑤ y＝lg．
在这五个函数中，奇函数是偶函数是___非奇非偶函数是。
2．（1）若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a
2）定义在（－1，1）上的奇函数y＝，则常数m，n的值为。
3．函数f(x)＝x3＋sinx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为。
4．下面四个结论：① 偶函数的图象一定与y轴相交 ② 奇函数的图象一定通过原点
③ 偶函数的图象关于y轴对称 ④ 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x)＝0（x∈r）．
其中正确的命题是。
5．已知函数f(x)是偶函数，在区间(－∞0)上单调递减，且f(－2)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集是。
知识扫描】1．奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)〔或f (x)+ f (－x)＝0〕，则称f (x)为奇函数．
2．偶函数：对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)〔或f (x)－f (－x)＝0〕，则称f (x)为偶函数．
注意：如果函数f (x)是奇函数或是偶函数，我们就说函数f (x)具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．
3．奇、偶函数的性质。
1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）．
2）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
3）若奇函数的定义域包含数0，则f (0)＝0．
4）设f (x)，g (x)的定义域分别是d1，d2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．
4．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2）确定f (－x)与f (x)的关系；
3）作出相应结论：
若f (－x)＝f (x)或f (－x)－f (x)＝0，则f (x)是偶函数；
若f (－x)＝－f (x)或f (－x)＋f (x)＝0，则f (x)是奇函数．
板书。1．定义：
xa，f (－x)＝－f (x) f (x)是奇函数；xa，f (－x)＝f (x) f (x)是偶函数；
xa，f (－x)＋f (x)＝0 f (x)是奇函数；xa，f (x)－f (－x)＝0 f (x)是偶函数；
2．奇、偶函数的性质。
（1）奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
2）奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称．
3）奇函数如果f (0)有定义，则f (0)＝0．
3．判断步骤：
1）求定义域，并判断其对称性；
2）确定f (－x)与f (x)的关系；
3）作出相应结论．
三、典型例题：
例1 判断下列函数的奇偶性：
1）f (x)＝|x＋1|－|x－12）f (x)＝(x－1)·；
3）f (x4）f (x)＝
例2 （1）若奇函数f (x)在定义域（－1，1）上是减函数，求满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围；
（2）已知偶函数g (x)在[0，＋∞上是增函数，求不等式g(2x＋5)＞g(x2＋2)的解集．
例3 已知定义在r上的函数y＝f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－1，求x∈[－4，0]时f (x)的表达式．
三、巩固练习：
1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1，2a]的偶函数，则a＋b的值是 ．
2．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)（x∈r）是偶函数，则实数a的值为___
3．f(x)为定义在r上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b（b为常数），则f(－1)＝
4．已知f (x)是定义域为r的奇函数，且当x＞0时，f (x)＝x|x－2|，则f (x
5．已知f (x)是定义域为r的奇函数，若当x＞0时，f (x)＝lgx，则满足f (x)＞0的的取值范围是。
6．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在［0，2］上是单调减函数，则f(－1)、f(0)、f(2)的大小关系是。
7．设函数f(x)在(－∞内有定义，下列函数：
y＝－|f(x)|；y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．
必为奇函数的有要求填写正确答案的序号）．
8．已知函数f(x)是定义在实数集r上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f
9．若函数f(x)是r上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4
10．已知函数f (x)定义在r上，且对任意x，y∈r，满足f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x) f (y)，（f (x)≠0），则f (x)奇偶性是。
11．已知函数f (x)＝（a、b、c∈z）是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a、b、c的值．
12．已知函数f (x)＝x2＋(x≠0，a∈r)．
1）判断函数f (x)的奇偶性；
2）若f (x)在区间[2，＋∞是增函数，求实数a的取值范围．
13．已知定义域为r的函数f (x)＝是奇函数．
1）求a、b的值；
2）若对任意的tr，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
函数的性质
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