函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。,
奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；
f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；
f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数。
1）若定义域关于原点对称。
2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：在上不是奇函数。
常用性质：1．是既奇又偶函数；
2．奇函数若在处有定义，则必有；
3．偶函数满足；
4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；
5．除外的所有函数的奇偶性满足：
1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数
奇函数±偶函数=非奇非偶
2） 奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数。
6．任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。,
定义：函数定义域为a，区间，若对任意且。
总有则称在区间m上单调递增。
总有则称在区间m上单调递减。
应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性。
一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论。
二） 求函数的单调区间。
定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)
注：常用结论。
1） 奇函数在对称区间上的单调性相同。
2） 偶函数在对称区间上的单调性相反。
3） 复合函数单调性---同增异减， ]
1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数t，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，t叫做周期，kt（t的整数倍）也是它的周期。
2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
注：常用结论。
1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明）
2）若定义在r上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。（自己证明）
推论）若定义在r上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期。
3）若；；；则是周期函数，2是它的一个周期， ]
一、函数自身的对称性。
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点a (a ,b)对称的充要条件是 f (x) +f (2a－x) =2b
证明：（必要性）设点p(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，点p( x ,y)关于点a (a ,b)的对称点p（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b
故f (x) +f (2a－x) =2b，必要性得证。
充分性）设点p(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
f (x) +f (2a－x) =2b
f (x0) +f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点p（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点p与点p关于点a (a ,b)对称，充分性得证。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点o对称的充要条件是f (x) +f (－x) =0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是。
f (a +x) =f (a－x) 即f (x) =f (2a－x) （证明留给读者）
推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) =f (－x)
定理3函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是。
f (a +x) =f (a－x) 或 f (x) =f (2a－x)
定理4.若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
二．不同函数对称性。
定理5. 函数y = f (a+x)与y = f (b－x)的图像关于直线x = b-a)/2成轴对称。
定理6. 互为反函数的两个函数关于直线y=x对称。
典型例题】例1] 判断下列函数奇偶性。1）（且）
解：（1）且。
奇函数。2），关于原点对称。
奇函数 3），关于原点对称
∴ 既奇又偶。
4）考虑特殊情况验证： ；无意义； ∴非奇非偶。
5）且，关于原点对称。
为偶函数。
例2]（1），为何值时，为奇函数；
为何值时，为偶函数。
答案：（1）
恒等定理） 时，奇函数。
（恒等定理）
巩固：已知定义域为的函数是奇函数。
ⅰ）求的值；
ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
解析：ⅰ）[取特殊值法。
因为是奇函数，所以=0，即。
又由f（1）= f（-1）知。
ⅱ）解法一：由（ⅰ）知，易知在上。
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
即对一切有：，从而判别式。
例3] 求函数的解析式。
1）为r上奇函数，时，解：时，∴
2）为r上偶函数，时，解：
时， 例4] 求下列函数的增区间。
答案：（1）， 2）作图。
例5]若在区间，求取值范围。
答案：分类讨论。
1）① 当在区间，符合题意。
当时，要在区间，则有。
[例6] ，为偶函数，试比较的大小关系。
解：∵ 为偶函数 ∴
则函数关于直线x=2对称。
在（0，2）
(提示：看离对称轴的远近)
例7] 为偶函数，，若，求取值范围。
解： ∴例8] 求下列函数是否为周期函数。
1），满足。
2），满足。
3），满足。
4），满足。
答案：1）令 ∴
t=2周期函数。
t=4周期函数。
3） ∴t=4
∴ t=8例9] ，偶函数，周期函数，t=2，，，则 ，求当时， 。
答案：例10] ，偶函数，奇函数，则 。
答案：奇。偶。
奇 ∴ 巩固。
例1：定义在r上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) =f (5+x),则f (x)
一定是（ ）
a)是偶函数，也是周期函数 (b)是偶函数，但不是周期函数
c)是奇函数，也是周期函数 (d)是奇函数，但不是周期函数。
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) =f (10－x).
f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(a)
例2：设定义域为r的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) =1999，那么f(4)=（
1999； （b）2000； （c）2001； （d）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是：y = 2 + g(x), f(x－1) =2 + g(x), 有f(5－1) =2 + g(5)=2001
故f(4) =2001,应选（c）
例3.设f(x)是定义在r上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) =x，则f (8.6
解：∵f(x)是定义在r上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。
故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) f (8+0.6 ) f (0.6 ) f (－0.6 ) 0.3
例4. 设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0≤x≤1时，f (x) =x，则f (7.5 )
(a) 0.5 (b) －0.5 (c) 1.5d) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在r上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )=f (x) =f (－x)，即f (1+ x) =f (1－x)， 直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) f (8－0.5 ) f (－0.5 ) f (0.5 ) 0.5 故选(b)
作业】1. 两位学生在思考一个开放题“满足的点称为函数的不动点，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为1的等比数列”。两位学生分别构造了一个函数（）：
请你判断，正确的结论是（ ）
a. ①都对 b. ①对②错 c. ①错②对 d. ①都错。
2. 函数与的图像关于（ ）
a. y轴对称 b. 原点对称。
c. 直线x=1对称 d. 关于y轴对称且关于直线x=1对称。
3. 若函数在（）上是减函数，则的取值范围是（ ）
函数的性质
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