8定义新运算

第八讲定义新运算。

内容简析：对于+、－四则运算，我们已经熟知它们的运算规则和计算方法，还学会了四则混合运算，以及速算与巧算。这一讲我们要学习一种新的运算，所谓新运算就是对一些新的运算符号来自主定义或规定一种运算规则，然后按照这一规则进行计算。

例题精讲。例1、“○表示一种新的运算，它是这样定义的：a○b=3×a－2×b

(1)求3○2，2○3；

(2)对于新运算“○”有交换律吗？

(3)求(9○7)○5，9○(7○5)

(4)对于新运算“○”有结合律吗？

思路导航】我们首先要明白新的运算符号“○”表示什么，即抓住新运算的本质，这是解答定义新运算的关键。

技巧点拨可以看出，对于定义新运算，还是借用我们所熟悉的+、－四则运算进行规定的。解答时要弄清楚新运算与常见的四则运算之间的关系，对照新定义的运算规则，把数字代入计算；注意有括号先算括号内的运算，其他与我们的“+，运算一样。对于新运算，我们常见的加法的结合律和乘法的交换律，它不一定有。

当然例1的“○”运算没有，并不代表其它所有的新运算没有。

例2、对于数x、y定义⊙及△运算如下：x⊙y=3×x+2×y，x△y=3×x×y。求(2⊙3)△4的值。

思路导航】这一题是两种新运算的混合运算，首先要弄清楚每一种新运算的运算规则，再确定运算顺序。

技巧点拨对于有两种或两种以上的新运算的计算，就好比我们的加、减、乘、除混合运算中有多种运算符号，但是如果有我们常见的“+、运算与新定义运算符号混合在一起，应将新定义的运算符号前后的“+、先进行运算后再进行新定义运算。

例3、规定：4*3=4×5×6，2*3=2×3×4，1*5=1×2×3×4×5。求3*5的值。

思路导航】题目没有明确告知新运算的定义，该如何进行运算呢？我们可以通过对题目提供的算式进行观察、分析，找出规律，从而确定新运算的运算规则。

技巧点拨这一题实际上就是找规律，是对一种新运算进行猜想假设，并加以验证，这个难度无形中加大了许多。

例4、如果1※2=1+2，2※3=2+3+4，…5※6=5+6+7+8+9+10。那么x※3=54中，求x的值。【思路导航】先观察给出的条件，找出规律，弄清楚对于新运算“※”所定义的计算规则，将x※3=54转化成普通的含有未知数的等式，再求解。

技巧点拔此题的关键还是找规律，弄清楚“※”的计算规则。还是有一定的难度的。

例5、定义x☆y=a×x+y，并且已知3☆5=5☆3，求a是几？

思路导航】先根据对新运算的定义，把等式3☆5=5☆3转化成含有未知数的等式，然后再求出未知数a的值。

解：技巧点拨转化是一种重要的数学思想，本题关键就是根据定义的新运算的规则，把等式转化成含有未知数的等式，从而解答出结果。其实定义新运算也就是按照新定义的要求，将数值代入新定义的式子，转化为我们熟知的加、减、乘、除四则运算。

此题中新运算“☆”是满**换律的，说明有的新运算也满**换律等运算定律。

归纳总结。定义新运算中，所引用的运算符号是人为的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中有特定的意义，是“临时性”的运算形式，在解答特定的题目之后，就失去了原有的意义，不能把这种规定用于其他情况。

新定义的算式中，如果含有括号，要先算括号里面的，后算括号外面的。

两个正整数♀、♂满足：♀=2×♂+1。例如♂=3时，♀=3×3+2×3+1=16。那么，当♀=36时第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级试题)

模拟练习：1、如果规定a※b=13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级试题)

2、x，y表示两个数，规定新运算“※”及“○”如下：x※y=5x+4y，x○y=6xy。求(3※4)○5的值。

3、观察5*2=5+55=60，7*4=7+77+777+7777=8638，推知9*5的值是第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题)

4、设x，y为两个不同的数，规定x口y=(x+y)÷4。求a口16=10中a的值。

5、规定a⊙b=3a-2b，已知x⊙(4⊙1)=7，求x的值。

6、设x、y表示两个不同的数，规定新运算“⊙”及“⊕”如下：

x⊙y=5×x+4×y，x⊕y=6×x×y。求(3⊙4)⊕5。

7、如果a○b表示“当a大于b时用2a减去b，当a小于b时用2b减去a”。求(6○9)○(10○5)。

8、规定a▽b=(a+b)÷5，9▽x=40。求x的值。

9、规定a△b=a+(a+1)+(a+2)+…a+b-1)，(a、b均为自然数，b>a)如果x△10=65，求x的值。

10、设两个正整数x、y满足y=x×x+x+9，例如x=2时，y=2×2+2+9=15，那么当y=39时，求x的值。

第八讲定义新运算。

课后自测：1、如果a&b=a+b÷10，那么2＆5第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级试题)

2、设a、b表示两个不同的数，规定a▽b=4×a-3×b，求(4▽3) ▽2。

3、设a、b表示两个不同的数，规定a⊕b=5×a+3×b，如果已知6⊕b=72，求b的值。

4、规定x⊙y=(x+2)×(y－4)，求4⊙(5⊙6)的值。

5、设x、y为两个不同的数，规定x◇y=2xy，已知a◇8=320，求a的值。