a12标准奥数教程。
定义新运算。
知识点与基本方法】
新运算，显然是与旧运算相对应，旧运算又是什么呢？同学们可以思考一下，就运算就是学校里的四则运算“加减乘除”，对于这些运算，同学们应该很熟悉。前面课程里，我们也讲到了很多旧的运算，今天我们要讲的就是新运算，既然是新运算，就是不同于以前的运算，为了不让同学们混淆了，所以就需要我们定义一下。
那么怎么样定义呢？同学们可以与生活中结合起来，公共场所都有标志，这些标志都是我们人为定义的，新运算也是如此，关键点就是看如何定义的。同时想提醒同学们注意，一个符号在一个问题里被定义了，不代表在所有题目里都是同一个意思，要结合题目的实际情况。
例题精选】例1．在两个数之间写上一个▽，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如： 13▽5=3，6▽2=0．试计算：（2000▽49）▽9．
分析：首先要弄清楚定义中的“▽”是什么意思，题目很明确告诉我，是表示前面的数除以后面的数所得的余数。那这个题目就很简单了，但请同学们注意，不管是新运算还是旧运算，运算的顺序是不能改变的，先要计算括号里面的。
解：2000÷49＝40……40；40÷9＝4……4；所以结果是4。
例2．设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？
如果已知4△b＝2，求b.
分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5
由①的例子可知“△”没有交换律。
要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步。
39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.
对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.
由③的例子可知“△”也没有结合律。⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.
例3.已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
a※b=（a+b）-（a-b）
a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。
由例3可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
例4 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？
2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？
分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。
定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。
因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有。
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。
例是两个自然数，我们规定：a△b表示一种新的运算，它是以a开头的连续b个自然数的和，如：2△4=2+3+4。求（4△5）△3。
分析与解析：首先弄清楚定义的本质，也就是△代表什么？△代表数的和，那么是哪些数的和呢？
解答：4△5=4+5=9 9△3=9+8+7+6+5+4+3=42
例6 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。
分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。
对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
例7.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：
羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。这个运算的意思是：
羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。
解答：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼答：运算结果是狼。
课后练习题】
1.对任意整数a，b规定：a*b=3a+2b-2;求（1）10*11（2）11*10
2.设a☆b=a×b+a－b，求5☆8。
3.规定a*b= 4×a＋3×b＋1，问：（1）5*7和7*5的值相等吗？(2)运算“*”有交换律吗？
4.对任意正整数a,b规定：a*b=a÷b×2+3若256* a=19，求a
5.对于任意a，b规定a*b=a+2b-1,问是否存在整数m使得（3*4）*m=3*（4*m）如果存在，求出这样的m ,如果不存在，说明理由。
6.对于任意a，b规定a△b=2a+b，若a△2a△3a△4a△5a△6a△7a△8a△9a△=3039求整数a
7.对任意正整数a,b,定义新运算⊙如下：如果 a，b同为奇数或同为偶数，那么a ⊙ b=(a+b) ÷2;如果ab的奇偶性不同，那么a ⊙ b=(a+b+1) ÷2求。
8. 设a，b表示整数(包括0)，规定*的运算为 a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。
9.规定数a！b=4×a＋2×b；a～b=2×a＋4×b。试算：（3～4－3！4）～2！4。
10.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（2&9） ◎5]×[4◎（8& 6）]。
11．定义a▽b=2a—b/2，计算2▽5和5▽2的值。
12．规定：a*b=a×b—（a—b），若2*a=1，求a。
13．按下列规则：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，…（1）计算6！=？2）如果a！=5040，求a。
14．若3□4=3＋4＋5＋6=18，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。（1）计算1995□5；（2）若95□a=585，求a；（3）若b□3=5973，求b。
15．a*b=3×a＋2×b，若8*（x*2）=50，求x的值。
定义新运算
教学内容 定义新运算。教学时间 2014 6 24 教学目标 知识目标1 熟悉定义新运算的意义。2 掌握新旧转化的方法3 熟悉定义新运算的类型。2 能力目标会用替代法。3 培养学生对数和字母应用的理解，从而开拓学生的思。维和视野。教学重点 新旧运算符号的转化教学难点 对替代法解题的应用教学方法 讲授...
定义新运算
一 知识要点。1 我们学过的常用运算有 等。如 2 3 5，2 3 6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们...
定义新运算
1 规定 a b b a b，那么 2 3 5得多少？ab2 规定 a b 则 2 5 3 得多少？ba3 规定 a b 若6 x 22 3，则x是多少？4 如果a b表示 a 2 b，例如3 4 3 2 4 4，当a 5 30时，那么a是多少？5 已知a，b是任意有理数，我们规定 a b a b ...