定义新运算

如：设a△b=a+b+ab 3△2=3+2+6=11 5△5=5+5+25=35

定义新运算可以作为一类数学问题，如：x,y表示两个数，规定新运算"*"及"△"如下：x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数，已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值。

1.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，求 3△2， 2△3；

这个运算“△”有交换律吗？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

④这个运算“△”有结合律吗？

⑤如果已知4△b＝2，求b.

2.定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

②求12※（3※4），（12※3）※4；

③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.

3. x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。

4.已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

5. 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，6.对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。

1）求12☆21的值；

2）（2）已知6☆x=27，求x的值。

7. a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

8. 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；

（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

9.设a、b都表示数，规定a◎b＝5×a－3×b，求：

10.已知2△3＝2×3×4，4△2＝4×5，那么，（6△3）－（5△2）是多少？

11．规定a※b＝a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+…a+b－1)，（a和b都是自然数），如果c※10=75,那么c＝？

12.设a▽b＝a×b+a-b,求5▽8

13.对于两个数a、b，a⊙b表示b×5-a×2,计算。

14.若3◆4＝3+4+5+6，6◆5＝6+7+8+9+10，计算：

1）1995◆5 （2）95◆x＝585 （3）x◆3=5973，求x

15.已知1☆6＝1×2×3×4×5×6，6☆5＝6×7×8×9×10，按此规定，计算。

2☆5）÷（6☆4）1 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。

16.规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。

17.定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如：

根据上面定义的运算， 18△12等于几？ 3 两个整数a和b，a除以b的余数记为a7 b。例如，13 5=3。根据这样定义的运算，(26 9) 4等于几？

18.规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ 为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式：

19.对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。

20.规定： 6* 2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246， 1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。

21. 如果用φ(a)表示 a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ18))等于几？

22. 如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？

23. 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”

a*b＝a(a＋1)(a＋2)…(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？

24. 有a，b，c，d四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置a∶将输入的数加上5；装置b∶将输入的数除以2；装置c∶将输入的数减去4；装置d∶将输入的数乘以3。

这些装置可以连接，如装置a后面连接装置b就写成ab，输入1后，经过ab，输出3。

(1)输入9，经过abcd，输出几？

(2)经过bdac，输出的是100，输入的是几？

(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？

一、提出课题：

同学们一定对+、-很熟悉了。如×4=8，都是2和4参加运算，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，所对应的法则不同。

二、新授、练习。

除了这四种运算外，还可以定义新运算。

例1：设a、b都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a -3×b。试计算5△6，6△5.

解析：由定义转换等式可知，“△表示：把△前面的数乘4，再把△后面的数乘3，最后把两次乘得的积相减。

解：5△6=4×5-3×6=20-18=2

说明：① 定义新运算是指在题目中用“△”等特殊符号连接的数的运算，有别于四则运算。我们必须把这种特殊符号在每道题中所规定的新的运算规则转换为四则运算，才能计算得到答案。

例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

做一做：1、设a、b为两个自然数，定义一种新运算“*”规定：a*b=5a+2b，求8*6等于多少？

2、规定：a※b=3×a-b÷3，那么10※9=？

例2：对于两个数a、b，规定a⊙b表示3×a +2×b。

试计算（5⊙6）⊙7，5⊙（6⊙7）

解析：在计算中要先算小括号里面的，再算小括号外面的。

解：（5⊙6）⊙75⊙（6⊙7）

说明：本题定义的运算不满足结合律，这是与常规的运算有区别的。

做一做：3、定义一种新运算“△”规定：a△b=（a+b）×2，

求（1）2△7△4 （2）3△（2△5）

4、定义一种新运算“＃”规定：a＃b= a×b+a+b，求（1）6＃2 （2）（1＃2）＃3

5、对于数a、b定义新运算“⊙”规定：a⊙b=(a-3) ×b+2)，求6⊙（4⊙3）

6、对于任意两个整数a、b，定义两种运算“△”规定：a△b= a×b-3，a⊙b= a+b-3。求6△（2⊙5）

例3：已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a△b表示a×（a+1）×…a+b-1）.计算：（6△3）-（5△2）

解析：通过观察可以发现，“△这个特殊符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的积。2△3表示从2开始连续3个数的积，4△2表示从4开始连续2个数的积。

解：（6△3）-（5△2） =6×7×8-5×6 = 336-30= 306

做一做：7、已知1○4=1+2+3+4 ， 4○5=4+5+6+7+8 ，按此规定，2001○5=？

8、如果2☆4=2345 ，5☆3=567 ，7☆2=78 ，那么：（4☆6）-（3☆5）=？

9、“※表示一种新的运算符号，已知：2※3=2+3+4；7※2=7+8;3※5=3+4+5+6+7;

按此规则，如果n※8=68，那么n等于多少？

补充例题4：

已知：4◇2=4+44=48 3◇4=3+33+333+3333=3702 5◇3=5+55+555=615

求：6◇5=？

解： 6◇5

= 6+66+666+6666+66666用到前面学习的速算与巧算）

做一做：10、如果：3＃2=3+33=36 2＃3=2+22+222=246 1＃4=1+11+111+1111=1234

那么：4＃5=？

补充例题5：

有一种数学符号◎，使下列算式成立：8◎4=28 ， 7◎6=27 ，10◎8=38

求：12◎8=？

解析：要找出符号◎所规定的运算定义是解题的关键，8×3+4=28；7×3+6=27；10×3+8=38，这就说明a◎b=a×3+b

解：12◎8=12×3+8=44

做一做：11、有一种数**算符号⊙，使下列算式成立：2⊙4=8 ，5⊙3=13 ，9⊙7=25 ，那么6⊙4=？

练习：12、对于任意自然数，定义：n！=1×2×……n。例如： 4！=1×2×3×4。

那么1！+2！+3！+…100！的个位数字是几？

13、对于两个不相等的自然数，定义运算a#b，表示将a、b中较大的数除以较小的数，结果取其余数，比如：9##9=4，18##18=0。如果x#13=3，且x<20，那么x等于多少？

14、有a、b、c、d四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数，装置a将输入的数加上5，装置b将输入的数乘2，装置c将输入的数减去4，装置d将输入的数乘3，这些装置可以连续使用，如a·b表示数字先经ａ处理再经b处理，问：

1）输入7，经过a·b·c·d输出几？

2）一个数经过b·c·a·d后输出159，输入的数是几？

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