第十九章。
定义新运算。
内容精要。定义新运算，是指用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算，解答这类题应注意两点：其一是理解新运算；其二是严格按新运算的定义要求进行运算，不得随意改变运算顺序，新球括号内的值，再求括号外的值。
例一对于两个自然数a,b,a△b表示a除以b的商与余数的和，例如4△3=2，2△3=2，计算 1994△6；（188△3）△8； x△18=7，且x为80至100之间的自然数，求x的值。
分析。因为 1994÷6=332……2 所以 1994△6=332+2=334
其次因为 188÷3=62……2，所以 188△3=62+2=64
又因为 64÷8=8，所以 64△8=8 因此 （188△3）△8=8
假设 x÷18=a……b，则 x=a×18+b
因为 x△18=7,所以 a+b=7
当a=0，b=7时，x=0×18+7=7
当a=1，b=6时，x=1×18+6=24
当a=2，b=5时，x=2×18+5=41
当a=3，b=4时，x=3×18+4=58
当a=4，b=3时，x=4×18+3=75
当a=5，b=2时，x=5×18+2=92
当a=6，b=1时，x=6×18+1=109
当a=7，b=0时，x=7×18+0=126
由于x为80至100之间的自然数，所以x=92。
例二 a，b表示两个数，a※b表示(a+b) ÷3，求5.4※1.8；（1※2）※5，6※（5※4）。
分析。直接根据运算的定义代入具体值进行计算。
先计算括号中的值。
因为1※2=(1+2)÷3=1
所以（1※2）※5=2
其次因为 5※4=(5+4)÷3=3
所以 6※（5※4）=3
例三对于两个数x，y，x⊙y，表示y×a-x×2并且已知8.2⊙6.5=3.1，计算2.9⊙5.7； 3.8⊙（1.4⊙2.3）。
分析。先求已知条件8.2⊙6.5=3.1求出a的值。
因为 8.2⊙6.5=6.5×a-8.2×2
又因为 8.2⊙6.5=3.1
所以 6.5×a-8.2×2=3.1
6.5×a-16.4=3.1
6.5×a=3.1+16.4
6.5×a=9.5
a=3因此 x⊙y =y×3-x×2
所以 2.9⊙5.7=11.3
因为1.4⊙2.3
所以 3.8⊙（1.4⊙2.3）=4.7
例四对两个数a、b，ab表示3×a+2×b，计算45，54；计算（56）7，5（67）；运算“”满**换律，结合律吗？如果ab=ba，那a，b同满足什么条件？
分析。直接按运算的定义进行计算。
先计算括号中的值。
因为。所以。
其次因为。所以。
由①可知。所以运算“”不满**换律。
又由②可知
所以运算“”也不满足结合律。
若是。则有。
即当时才成立。
例五对两个数、有☆，当取什么值时，对于任何不同的数、都有☆☆即新定义运算“☆”有交换律？
分析。1）判断9☆4与4☆9的值是否相等，只要分别求出9☆4与4☆9的值，要求9☆4与4☆9的值，首先应当确定新定义运算中的常数。
2）要使☆☆由新定义运算列出有字母及组成的等式，然后通过交换，巧妙求出的值。
由☆得。故新定义运算为：☆
因为，所以☆☆
要使☆☆，由新定义运算，得。
如，必须即。
所以当新定义运算☆时，具有交换律，即☆☆。
例六规定：求求？
分析。我们从题目开头设的几个等式可以归纳出：“ 表示把它前面的那个分数依次往后写（新写出的分数，分母都比前一个分母大1；分子仍为1）：
“后的数字则是要求我们连续写出分数的个数减1（原来的分数算是第一个）。搞清了这道题目的这一特殊要求，使可动手推算了。
解。技巧点拨
利用乘法分配律提取。
即为： 这时，我们便清楚的看出：原来敲好是四个连续自然数的乘积。究竟是哪四个连续自然数的乘积呢？回答这个问题也并不难，最好的方法是分解（见右图）：
再由它们组合成四个连续自然数的乘积：
得： 例七我们规定符号“”表示选择两数中较大数的运算，符号“”表示选择两数中较小数的运算，例如：
试计算。分析。
因为所以。因为所以。
因为所以。因为所以。
因此。例八对于两个自然数表示a与b的最小公倍数减去a与b的最大公约数，比如：812=24-4=20。
计算 2476；
若x36=60，求x的值。
分析。因为24与76的最小公倍数是456，最大公约数是4。
所以2476=456-4=452
x与36的最大公约数不超过36，而x与36的最小公倍数可能为……
由于x36=60,即x与36的最小公倍数减去它们的最大公约数的差为60，因此x与36的最小公倍数只能为72，x与36的最大公约数为72-60=12。
因为对于两个自然数a与b,a乘b的积等于a与b的最小公倍数与最大公约数的积。
所以 x×36=72×12
x=72×12÷36
x=24例九对两个数a,b,a△b表示a+b-1,计算(7△8.4)△2.1；已知(5△x)△x=84,试求x的值。
分析。因为 7△8.4=7+8.4-1=14.4
所以 (7△8.4)△2.1
因为 5△x=5+x-1=4+x
4+x)△x=4+x+x-1=2x+3
5△x)△x=2x+3
又因为 (5△x)△x=84
所以 2x+3=84
2x=84-3
2x=81x=40.5
定义新运算
教学内容 定义新运算。教学时间 2014 6 24 教学目标 知识目标1 熟悉定义新运算的意义。2 掌握新旧转化的方法3 熟悉定义新运算的类型。2 能力目标会用替代法。3 培养学生对数和字母应用的理解，从而开拓学生的思。维和视野。教学重点 新旧运算符号的转化教学难点 对替代法解题的应用教学方法 讲授...
定义新运算
一 知识要点。1 我们学过的常用运算有 等。如 2 3 5，2 3 6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们...
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1 规定 a b b a b，那么 2 3 5得多少？ab2 规定 a b 则 2 5 3 得多少？ba3 规定 a b 若6 x 22 3，则x是多少？4 如果a b表示 a 2 b，例如3 4 3 2 4 4，当a 5 30时，那么a是多少？5 已知a，b是任意有理数，我们规定 a b a b ...