圆（1）
教学目标。了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
教学过程。一、复习引入。
1．举出生活中的圆。
三、四个．2．你能讲出形成圆的方法有多少种？
（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．
二、探索新知。
从以上圆的形成过程，我们可以得出：
在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径．
以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．
讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心o）的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？．
（1）图上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为o，半径为r的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点组成的图形．
同时，我们又把。
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段ac，ab；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段ab；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以a、c为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧ac”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．
3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．
因此，我们可以得到：
如图，ab是⊙o的一条弦，作直径cd，使cd⊥ab，垂足为m．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd．
（2）am=bm，，，即直径cd平分弦ab，并且平分及．
这样，我们就得到下面的定理：
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径cd、弦ab且cd⊥ab垂足为m
求证：am=bm，，.
分析：要证am=bm，只要证am、bm构成的两个三角形全等．因此，只要连结oa、ob或ac、bc即可．
证明：如图，连结oa、ob，则oa=ob
在rt△oam和rt△obm中。
∴rt△oam≌rt△obm
∴am=bm
∴点a和点b关于cd对称。
∵⊙o关于直径cd对称。
∴当圆沿着直线cd对折时，点a与点b重合，与重合，与重合．
进一步，我们还可以得到结论：
（本题的证明作为课后练习）
例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点o是的圆心，其中cd=600m，e为上一点，且oe⊥cd，垂足为f，ef=90m，求这段弯路的半径．
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
解：如图，连接oc
设弯路的半径为r，则of=（r-90）m
∵oe⊥cd
∴cf=cd=×600=300（m）
根据勾股定理，得：oc2=cf2+of2
即r2=3002+（r-90）2 解得r=545
∴这段弯路的半径为545m．
四、应用拓展。
例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽ab=60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面宽mn=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽mn=32m是否需要采取紧急措施，只要求出de的长，因此只要求半径r，然后运用几何代数解求r．
解：不需要采取紧急措施。
设oa=r，在rt△aoc中，ac=30，cd=18
r2=302+（r-18）2 r2=900+r2-36r+324
解得r=34（m）
连接om，设de=x，在rt△moe中，me=16
342=162+（34-x）2
162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0
解得x1=4，x2=64（不合设）
∴de=4∴不需采取紧急措施．
第一课时作业设计。
一、选择题．
1．如图1，如果ab为⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为e，那么下列结论中，错误的是（ ）
a．ce=de b． c．∠bac=∠bad d．ac>ad
2．如图2，⊙o的直径为10，圆心o到弦ab的距离om的长为3，则弦ab的长是（ ）
a．4 b．6 c．7 d．8
3．如图3，在⊙o中，p是弦ab的中点，cd是过点p的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
a．ab⊥cd b．∠aob=4∠acd c． d．po=pd
二、填空题。
1．如图4，ab为⊙o直径，e是中点，oe交bc于点d，bd=3，ab=10，则ac=__
2．p为⊙o内一点，op=3cm，⊙o半径为5cm，则经过p点的最短弦长为最长弦长为___
3．如图5，oe、of分别为⊙o的弦ab、cd的弦心距，如果oe=of，那么___只需写一个正确的结论）
三、综合提高题。
1．如图24-11，ab为⊙o的直径，cd为弦，过c、d分别作cn⊥cd、dm⊥cd，分别交ab于n、m，请问图中的an与bm是否相等，说明理由．
2．如图，⊙o直径ab和弦cd相交于点e，ae=2，eb=6，∠deb=30°，求弦cd长．
3．（开放题）ab是⊙o的直径，ac、ad是⊙o的两弦，已知ab=16，ac=8，ad=8，求∠dac的度数．
答案：一、1．d 2．d 3．d
二、1．8 2．8 10 3．ab=cd
三、1．an=bm 理由：过点o作oe⊥cd于点e，则ce=de，且cn∥oe∥dm．
∴on=om，∴oa-on=ob-om，an=bm．
2．过o作of⊥cd于f，如右图所示。
ae=2，eb=6，∴oe=2，ef=，of=1，连结od，在rt△odf中，42=12+df2，df=，∴cd=2．
3．（1）ac、ad在ab的同旁，如右图所示：
∵ab=16，ac=8，ad=8，∴ac=（ab），∴cab=60°，同理可得∠dab=30°，∴dac=30°．
（2）ac、ad在ab的异旁，同理可得：∠dac=60°+30°=90°．
圆(第2课时)
教学目标。了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
一、复习引入。
完成下题．已知△oab，如图所示，作出绕o点旋转°的图形．
绕o点旋转，o点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠bob′=30°．
二、探索新知。
如图所示，∠aob的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙o中，分别作相等的圆心角∠aob和∠a′ob′将圆心角∠aob绕圆心o旋转到∠a′ob′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
=，ab=a′b′
理由：∵半径oa与o′a′重合，且∠aob=∠a′ob′
∴半径ob与ob′重合。
∵点a与点a′重合，点b与点b′重合。
∴与重合，弦ab与弦a′b′重合。
∴=，ab=a′b′
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作：如图1，在⊙o和⊙o′中，分别作相等的圆心角∠aob和∠a′o′b′得到如图2，滚动一个圆，使o与o′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得oa与o′a′重合．
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
我能发现： =ab=a/b/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
例1．如图，在⊙o中，ab、cd是两条弦，oe⊥ab，of⊥cd，垂足分别为ef．
（1）如果∠aob=∠cod，那么oe与of的大小有什么关系？为什么？
2）如果oe=of，那么与的大小有什么关系？ab与cd的大小有什么关系？为什么？∠aob与∠cod呢？
九年级数学第24章圆 2
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