九年级-中考复习-几何综合 （教师版）
中线倍长旋转全等构造半角模型对补型
1. 中线倍长婆罗摩笈多模型及变式
难点：最后一步倒角
2. 旋转
3. “三垂直”模型
4. 半角模型。
1. 婆罗摩笈多模型的解决方法。
2. 模型之变式，中线倍长方法的灵活应用。
变式1：（武汉19年元调）如图，等边△abc与等腰三角形△edc有公共顶点c，其中∠edc＝120°，ab＝ce＝，连接be，p为be的中点，连接pd、ad
1) 小亮为了研究线段ad与pd的数量关系，将图1中的△edc绕点c旋转一个适当的。
角度，使ce与ca重合，如图2，请直接写出ad与pd的数量关系。
2) 如图1，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
3) 如图3，若∠acd＝45°，求△pad的面积。
变式2：（16年元调）如图，∠bac＝60°，∠cde＝120°，ab＝ac，dc＝de，连接be，p为be的中点。
1) 如图1，若a、c、d三点共线，求∠pac的度数。
2) 如图2，若a、c、d三点不共线，求证：ap⊥dp
3) 如图3，若点c线段be上，ab＝1，cd＝2，请直接写出pd的长度。
常见有90°等腰含半角，120°等腰含半角，正方形中含半角。
例：已知：如图1在中，点、分别为线段上两动点，若．**线段、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到['"altimg': w':
61', h': 20'}]连结['d", altimg': w':
34', h': 20'}]使问题得到解决．请你参考小明的思路**并解决下列问题：
1）猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
2）如图2，当动点**段上，动点运动**段延长线上时，其它条件不变，则。
上述结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．
变式：（武汉18年元调）如图，点c为线段ab上一点，分别以ab、ac、cb为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为d、e、f（点e、f在ab的同侧，点d在另一侧）
1) 如图1，若点c是ab的中点，则∠aed
2) 如图2，若点c不是ab的中点。
求证：△def为等边三角形；
连接cd，若∠adc＝90°，ab＝3，请直接写出ef的长。
对补型旋转等线段，共端点。
例：等边△abc中，点h在边bc上，点k在边ac上，且ak=hc，连接ah、bk交于点f.
1)如图1，求∠afb的度数；
2)如图2，连接fc，若∠bfc=90°，点g为边 ac上一点，且满足∠gfc=30°，求证：ag⊥bg
3)如图3，在(2)条件下，在bf上取d使得df=af，连接cd交ah于e，若△def面积为1， 则△ahc的面积为
例：(1)**如图(1),在△abc和△ade都是等边三角形，点d在边bc上，求∠dce的大小；
直接写出线段cd,ce ,ac之间的数量关系；
2)应用如图(2),在四边形abcd中，ab=bc∠abc=60°,p是四边形abcd内一点，且∠apc=120°.
求证：pa+pc+pd≥bd;
3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点a的坐标为(-4,0)，点b是y轴上一个动点，以ab为边在ab的下方作等边三角形abc，求oc的最小值。
变式3：已知等腰直角三角形abc和等腰直角三角形ade有公共直角顶点a
1) 如图1，f、g分别为ac、ab的中点，求证：ef＝dg，ef⊥dg
2) 如图2，若m为cd的中点，以下两个结论中：① cd＝be；② am＝be只有一个是正确的，请判断并证明正确的结论。
过关测统计：
1.如图，d为线段ab的中点，在ab上取异于d的点c，分别以ac、bc为斜边在ab同侧作等。
腰直角三角形ace与bcf，连结de、df、ef，1）求证：△def为等腰直角三角形。
2）若将此题的△ace绕点c逆时针旋转，每旋转45°得另一图形。（1）中的结论是否仍成立？
若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
2. 如图1，△abc中，∠bac=600 ，d，e分别为ac，ab边上两点，且cd=ab，ad=ae，将线段cd绕点c逆时针旋转α角至cg.
1) 如图2，当α=120°时，连eg，取eg中点p，连ap、cp、求证：apcp;
2) 如图3，当α=240°时，连ag，取ag中点p，连ep、cp、试判断ep与cp的关系，并
证明。3) 在图1中，连bd，取bd中点q，连aq，则。
3.如图1，与都是等腰直角三角形，°，ab、ef的中
点均为o.1）求证：cd=bf;
2）如图2，当绕点o顺时针旋转的过程中，**bf与cd的数量关系和位置关系，
并证明；3）如图2，若ac=，bf、cd相交于m，求am的最小值。
4.如图，正方形abcd的顶点c处有一等腰rt△cep，∠pec=900 ，连接ap，pe.
（1）若点e在bc上时，如图1，线段ap和be之间的数量关系是。
（2）若将图1中△pec顺时针旋转使p点落在cd上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
(3) 在图2的基础上延长ap，be交于点f，如图3， 若dp=pc=2 ，求bf的长。
5.在平面直角坐标系中，已知a(0,a)、b(b, 0)，且a、b满足：[+b^4a+4b+8=0', altimg':
w': 189', h': 25'}]点d为x正半轴上一动点
1)求a、b两点的坐标
2)如图，∠ado的平分线交y轴于点c，点 f为线段od上一动点，过点f作cd的平行线交y轴于点h，且∠afh=45°， 判断线段ah、fd、ad三者的数量关系，并予以证明。
(3)以ao为腰，a为顶角顶点作等腰△ado，若∠dba=30°，直接写出∠dao的度数
6. 在正方形abcd中，点e、f分别在边bc、cd上，且∠eaf=∠cef=45°，1）将△adf绕着点a顺时针旋转90°，得到△abg，如图1，求证：△aeg≌△aef；
2）若直线ef与ab、ad的延长线分别交于点m,n，如图2，求证：
3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段ef，be，df之
间的数量关系。
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