精典专题六几何-图形变换、相似。
1、图形与变换。
1.计算问题。
例 (2014南通）如图，矩形abcd中，ab=3，ad=4，e为ab上一点，ae=1，m为射线ad上一动点，am=a（a为大于0的常数），直线em与直线cd交于点f，过点m作mg⊥em，交直线bc于g．
1）若m为边ad中点，求证：△efg是等腰三角形；
2）若点g与点c重合，求线段mg的长；
3）请用含a的代数式表示△efg的面积s，并指出s的最小整数值．
练习1】(2014山东东营)[**发现]如图①，已知△abc是等边三角形，∠aef＝60°，ef交等边三角形外角平分线于点f，当点e是bc的中点时，有ae＝ef成立．
数学思考]某数学兴趣小组在**ae与ef的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点e是直线bc上(b，c除外)任意一点时(其他条件不变)，结论ae＝ef仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点e是线段bc上的任意一点”；“点e是线段bc延长线上的任意一点”；“点e是线段bc反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图②中画出图形，并证明ae＝ef．
拓展应用]当点e**段bc的延长线上时，若ce＝bc，在图③中画出图形，并运用上述结论求出s△abc︰s△aef的值．
例2.**问题。
已知，在△abc中，∠bac=90°，∠abc=45°，点d为直线bc上一动点（点d不与点b，c重合）．以ad为边做正方形adef，连接cf
1）如图1，当点d**段bc上时．求证cf+cd=bc；
2）如图2，当点d**段bc的延长线上时，其他条件不变，请直接写出cf，bc，cd三条线段之间的关系；
3）如图3，当点d**段bc的反向延长线上时，且点a，f分别在直线bc的两侧，其他条件不变；
请直接写出cf，bc，cd三条线段之间的关系；
若正方形adef的边长为2√2，对角线ae，df相交于点o，连接oc．求oc的长度．
练习2】（随州）（10分）已知两条平行线l1、l2之间的距离为6，截线cd分别交l1、l2于c、d两点，一直角的顶点p**段cd上运动（点p不与点c、d重合），直角的两边分别交l1、l2与a、b两点．
1）操作发现。
如图1，过点p作直线l3∥l1，作pe⊥l1，点e是垂足，过点b作bf⊥l3，点f是垂足．此时，小明认为△pea∽△pfb，你同意吗？为什么？
2）猜想论证。
将直角∠apb从图1的位置开始，绕点p顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当ae满足什么条件时，以点p、a、b为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
3）延伸**。
在（2）的条件下，当截线cd与直线l1所夹的钝角为150°时，设cp=x，试**：是否存在实数x，使△pab的边ab的长为4？请说明理由．
例3.相似的计算和应用。
1)（乌鲁木齐）如图，ab∥gh∥cd，点h在bc上，ac与bd交于点g，ab=2，cd=3，则gh的长为。
2)（绍兴）在△abc中，∠cab=90°，ad⊥bc于点d，点e为ab的中点，ec与ad交于点g，点f在bc上．
1）如图1，ac：ab=1：2，ef⊥cb，求证：ef=cd．
2）如图2，ac：ab=1：['altimg': w': 27', h': 29'}]ef⊥ce，求ef：eg的值．
练习2】（扬州）28．（12分）已知矩形abcd的一条边ad=8，将矩形abcd折叠，使得顶点b落在cd边上的p点处．
1）如图1，已知折痕与边bc交于点o，连结ap、op、oa．
求证：△ocp∽△pda；
若△ocp与△pda的面积比为1：4，求边ab的长；
2）若图1中的点p恰好是cd边的中点，求∠oab的度数；
3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕ao、线段op，连结bp．动点m**段ap上（点m与点p、a不重合），动点n**段ab的延长线上，且bn=pm，连结mn交pb于点f，作me⊥bp于点e．试问当点m、n在移动过程中，线段ef的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段ef的长度。
例4.（特殊平行四边形）
烟台）在正方形abcd中，动点e，f分别从d，c两点同时出发，以相同的速度在直线dc，cb上移动．
1）如图①，当点e自d向c，点f自c向b移动时，连接ae和df交于点p，请你写出ae与df的位置关系，并说明理由；
2）如图②，当e，f分别移动到边dc，cb的延长线上时，连接ae和df，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）
3）如图③，当e，f分别在边cd，bc的延长线上移动时，连接ae，df，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
4）如图④，当e，f分别在边dc，cb上移动时，连接ae和df交于点p，由于点e，f的移动，使得点p也随之运动，请你画出点p运动路径的草图．若ad=2，试求出线段cp的最小值．
练习】（天门）（10分）如图①，△abc与△def是将△acf沿过a点的某条直线剪开得到的（ab，de是同一条剪切线）．平移△def使顶点e与ac的中点重合，再绕点e旋转△def，使ed，ef分别与ab，bc交于m，n两点．
1）如图②，△abc中，若ab=bc，且∠abc=90°，则线段em与en有何数量关系？请直接写出结论；
2）如图③，△abc中，若ab=bc，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；
3）如图④，△abc中，若ab：bc=m：n，探索线段em与en的数量关系，并证明你的结论．
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