圆的对称性—知识讲解（基础）
要点梳理】要点。
一、圆的对称性。
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
要点。二、与圆有关的概念。
1. 弦。弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
2. 弧。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以a、b为端点的弧记作，读作“圆弧ab”或“弧ab”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧。
3.等弧。在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。
要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等。
要点。三、垂径定理。
1.垂径定理 :垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.推论。平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即。
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。
要点。四、垂径定理的拓展。
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。
（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
要点。五、弧、弦、圆心角的关系。
1.圆心角与弧的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2. 圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提。
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题】类型。
一、应用垂径定理进行计算与证明。
例1．（2015巴中模拟）如图，ab为半圆直径，o为圆心，c为半圆上一点，e是弧ac的中点，oe交弦ac于点d，若ac=8cm，de=2cm，求od的长．
举一反三：变式】如图，⊙o中，弦ab⊥弦cd于e，且ae=3cm，be=5cm，求圆心o到弦cd 距离。
2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）
a．mp与rn的大小关系不定 b．mp＝rn c．mp＜rn d．mp＞rn
举一反三：变式】已知：如图，割线ac与圆o交于点b、c，割线ad过圆心o. 若圆o的半径是5，且，ad=13. 求弦bc的长。
类型。二、垂径定理的综合应用。
例3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）
a．5m b．8m c．7m d．m
例4．（2015蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为o，直径ab是河底线，弦cd是水位线，cd∥ab，且ab=26m，oe⊥cd于点e．水位正常时测得oe：cd=5：24
1）求cd的长；
2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
举一反三：变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽ab=60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽mn=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
类型。三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用。
例5. 如图，ab是⊙o的直径，bc、cd、da是⊙o的弦，且bc=cd=da，求∠bcd的度数。
举一反三：变式】如图所示，中弦ab=cd，求证：ad=bc.
课后作业】圆的对称性—巩固练习（基础）
一、选择题。
1.下列结论正确的是（ ）
a．经过圆心的直线是圆的对称轴b．直径是圆的对称轴。
c．与圆相交的直线是圆的对称轴d．与直径相交的直线是圆的对称轴。
2．（2015广元）如图，已知⊙o的直径ab⊥cd于点e，则下列结论一定错误的是（ ）
a．ce=de b． ae=oe cd． △oce≌△ode
3． 如图，已知ab，cd是⊙o的两条直径，且∠aoc=50°，作ae∥cd，交⊙o于e，则弧ae的度数为（ ）
a．65b．70c．75° d．80°
第3题第5题。
4．ab为⊙o的弦，oc⊥ab，c为垂足，若oa＝2，oc＝l，则ab的长为( )
abcd．5．如图所示，矩形abcd与⊙o相交于m、n、f、e，若am=2，de=1，ef=8，则mn的长为（ ）
a．2b．4c．6d．8
6．已知⊙o的直径ab=12cm，p为ob中点，过p作弦cd与ab相交成30°角，则弦cd的长为（ ）
a． b． c． d．
二、填空题。
7．如图，四边形abcd内接于⊙o，若∠bod=138°，则它的一个外角∠dce等于度．
8．（2015黔西南州）如图，ab是⊙o的直径，cd为⊙o的一条弦，cd⊥ab于点e，已知cd=4，ae=1，则⊙o的半径为 ．
9．圆的半径为5cm，圆心到弦ab的距离为4cm，则ab=__cm．
10．如图，cd为⊙o的直径，ab⊥cd于e，de=8cm，ce=2cm，则ab=__cm．
第7题10题图11题图12题图。
11．如图，⊙o的半径oc为6cm，弦ab垂直平分oc，则ab=__cm，∠aob=__
12．如图，ab为⊙o的弦，∠aob=90°，ab=a，则oa=__o点到ab的距离=__
三、解答题。
13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即pn=4米时是否要采取紧急措施？
14. 如图所示，ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab于点p，cd＝10cm，ap:pb＝1:5，求⊙o半径．
15．（2015绵阳模拟）如图，已知圆o的直径ab垂直于弦cd于点e，连接co并延长交ad于点f，且cf⊥ad．
1）请证明：e是ob的中点；
2）若ab=8，求cd的长．
圆的对称性—知识讲解（提高）
知识梳理】要点。
一、圆的对称性。
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
要点。二、与圆有关的概念。
1. 弦。弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
2. 弧。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以a、b为端点的弧记作，读作“圆弧ab”或“弧ab”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧。
3.等弧。在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。
要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等。
要点。三、垂径定理。
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.推论。平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即。
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。
要点。四、垂径定理的拓展。
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。
（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
要点。五、弧、弦、圆心角的关系。
1.圆心角与弧的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2. 圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提。
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
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