（一）与圆有关位置关系的判定。
例题、如上右图，是一个五环图案，它由五个圆组成。下排的两个。
圆的位置关系是（ ）
a、内含。 b、外切 c、相交。 d、外离。
练习、⊙o1和⊙o2的半径分别为3、r，两圆的圆心距d ＝ 8，若⊙o1和⊙o2外离，则r满。
足 。二）与圆有关角度计算。
例题1、（2012南京）27、（10分）如图，a、b为⊙o上的两个。
定点，p是⊙o上的动点（p不与a、b重合），我们称为⊙o
上关于a、b的滑动角。① 若ab为⊙o的直径，则 ② 若⊙o半径为1，ab
对应练习：1、如图，点a、b、c在⊙o上，∠aoc＝60°，则∠abc
2、如图，在半径为5的⊙o中，弦ab=6，点c是优弧上一点（不与a，b重合），则cosc的值为 。
3、如图，pa，pb是⊙o的切线，a，b为切点，ac是⊙o的直径，∠p=50°，bac的度数。
1题图2题图3题图）
4、如图，过a、c 、d三点的圆的圆心为e，过b、f、e三点的圆的圆心为d，如果。
a=63°，那么∠b= 。源。
5、如图，△abc是⊙o的内接三角形，ab为⊙o的直径，点d为⊙o上一点，若∠cab=55°，adc
4题图5题图）
三）与圆有关线段计算。
例题2（2012陕西）如图，分别与⊙o相切于点，点在上，且，垂足为。
1）求证：；
2）若⊙o的半径，，求的长。
例题3（2012天津）17．如图，已知正方形abcd的边长为1，以顶点a、b为圆心，1为半。
径的两弧交于点e，以顶点c、d为圆心，1为半径的两弧交于点f，则ef的长为 ；
例题4（2012武汉）22.在锐角△abc中，bc＝5，sina＝， 1）如图1，求△abc的外接圆的直径2）如图2，点i为△abc的内心，若ba＝bc， 则ai
例题3例题4
6、如图，在半径为5的圆o中，ab，cd是互相垂直的两条弦，垂足为p，且ab=cd=8，则。
op的长为（ ）a、3 b、4 cd、
7、如图2，cd是⊙o的直径，ab是弦（不是直径），ab⊥cd于点e，则下列结论正确的是（ ）
a、ae>be b、 c、∠d=∠aec d、△ade∽△cbe
8、如图，已知ab是⊙o的直径，ad切⊙o于点a，弧ec=弧cb.下列结论中不一定正确的。
是（ ）a、ba⊥da b、oc∥ae c、∠coe=2∠cae d、od⊥ac
9、如图，ab是⊙o的直径，am和bn是它的两条切线，de切⊙o于点e，交am于点d，交。
bn于点c；
1）求证：od∥be；（2）如果od=6cm，oc=8cm，求cd的长。
四）面积、弧长计算。
例题5如图，圆锥的高oc=4，底面半径cb=3，则圆锥侧面积= ，圆心角= °
例题510题11题。
10、如图，ab与⊙o相切于点b，ao的延长线交⊙o于点c，连接bc，若∠abc=120°，oc=3，则的长为（ ）a、π b、2π c、3π d、5π
11、向一个图案如下图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率。
为 。12、若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为。
五）切线的证明与计算。
例题6 2012北京）20．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
1）求证：与相切；
2）连结并延长交于点，若，求的长。
13、如图，在△abc 中，ba=bc，以ab 为直径作半圆⊙o，交ac 于点d.连结db，过点d 作。
de⊥bc，垂足为点e；
1）求证：de 为⊙o 的切线；
（2）求证：db2=ab·be.
14、如图，ab是⊙o的直径，ac是弦，od⊥ac于点d，过点a作⊙o的切线ap，ap与od的延长线交于点p，连接pc、bc．
1)猜想：线段od与bc有何数量和位置关系，并证明你的结论。
2)求证：pc是⊙o的切线。
15、如图，点a，e是半圆周上的三等分点，直径bc=2，，垂足为d，连接be交。
ad于f，过a作∥be交bc于g。
1）判断直线ag与⊙o的位置关系，并说明理由。
2）求线段af的长。
解：（1）直线ag与⊙o的位置关系是ag与⊙o相切，理由是：连接oa，点a，e是半圆周上的三等分点，弧ab=弧ae=弧ec，点a是弧be的中点，oa⊥be，又∵ag∥be，oa⊥ag，ag与⊙o相切．
2）∵点a，e是半圆周上的三等分点，∠aob=∠aoe=∠eoc=60°，又∵oa=ob，△abo为正三角形，又∵ad⊥ob，ob=1，bd=od=，ad=，又∵∠ebc=∠eoc=30°，在rt△fbd中，fd=bdtan∠ebc=bdtan30°=，af=ad﹣df=﹣=
答：af的长是．
总结切线的判定方法：①知道切点在圆上，连半径，证垂直；（切线的判定定理）
不知道直线上点是否在圆上，要证为切线，则作垂直，证半径。（数量关系）
六）圆的综合题。
例题7如图，在半径为2的扇形中，∠，点是弧上的一个动点（不与点、重合）⊥，垂足分别为、；
1）当时，求线段的长；
2）在△中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存。
在，请说明理由；
3）设，△的面积为，求关于的函数关系式，并写出取值范围。
16、如图，ab为⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为点e，cf⊥af，且cf=ce。
1）求证：cf是⊙o的切线； （2）若sin∠bac=2/5，求的值。
解：（1）证明：连接oc.
ce⊥ab，cf⊥af，ce=cf，ac平分∠baf，即∠baf=2∠bac.
∠boc=2∠bac，∠boc=∠baf.
oc∥af.
cf⊥oc.
cf是⊙o的切线。
2）∵ab是⊙o的直径，cd⊥ab，ce=ed.
s△cbd=2s△ceb，∠bac=∠bce
△abc∽△cbe.
s△cbe/s△abc==（sin∠bac）2==.
s△cbd/s△abc=.
17、如图，点a（-5，0），b（-3，0），点c在y轴的正半轴上，∠cbo=45°，cd∥ab，cda=90°．点p从点q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运。
动时间为t秒；
1）求点c的坐标；
2）当∠bcp=15°，求t的值；
3）以点p为圆心，pc为半径的⊙p随点p的运动而变化，当⊙p与四边形abcd的边。
或边所在的直线）相切时，求t的值。
解：（1）∵∠bco=∠cbo=45°，oc=ob=3，又∵点c在y轴的正半轴上，点c的坐标为（0，3）；
2）分两种情况考虑：
当点p在点b右侧时，如图2，若∠bcp=15°，得∠pco=30°，故po=cotan30°=，此时t=4+；
当点p在点b左侧时，如图3，由∠bcp=15°，得∠pco=60°，故op=cotan60°=3，此时，t=4+3，t的值为4+或4+3；
3）由题意知，若⊙p与四边形abcd的边相切时，有以下三种情况：
当⊙p与bc相切于点c时，有∠bcp=90°，从而∠ocp=45°，得到op=3，此时t=1；
当⊙p与cd相切于点c时，有pc⊥cd，即点p与点o重合，此时t=4；
当⊙p与ad相切时，由题意，得∠dao=90°，点a为切点，如图4，pc2=pa2=（9﹣t）2，po2=（t﹣4）2，于是（9﹣t）2=（t﹣4）2+32，即81﹣18t+t2=t2﹣8t+16+9，解得：t=5.6，t的值为1或4或5.
6．课后作业：1、（广东广州）如图，⊙o的半径为1，点p是⊙o上一点，弦ab垂直平分线段op，点d是弧apb上任一点（与端点a、b不重合），de⊥ab于点e，以点d为圆心、de长为半径作⊙d，分别过点a、b作⊙d的切线，两条切线相交于点c
1）求弦ab的长；
2）判断∠acb是否为定值，若是，求出∠acb的大小；否则，请说明理由；
3）记△abc的面积为s，若＝4，求△abc的周长。
2、（云南楚雄州）已知：如图，⊙a与轴交于c、d两点，圆心a的坐标为（1，0），a的半径为，过点c作⊙a的切线交于点b（－4，0）。
1）求切线bc的解析式；
2）若点p是第一象限内⊙a上一点，过点p作⊙a的切线与直线bc相交于点g，且∠cgp=120°，求点g的坐标；
3）向左移动⊙a（圆心a始终保持在上），与直线bc交于e、f，在移动过程中是否。
九年级圆单元复习专题
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九年级数学专题复习圆
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初中数学九年级专题复习专题23圆与圆的位置关系
专题23 圆与圆的位置关系。阅读与思考 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离 外切 相交 内切 内含五种位置关系。圆与圆相交 相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质。解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有 1.相交两圆作公共弦或连心线 2.相切两圆作...