九年级数学下册第三章《圆》
一、车轮为什么做成圆形。
知识点1 圆的定义。
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，其中，定点成为圆心，定长称为半径。圆的表示：以o为圆心的圆，记作⊙o。
方法点拨：确定一个圆，只需两个条件：位置及大小，即只需确定圆心和半径。
知识点2 点与圆的位置关系。
1、点在圆内点在圆内；
2、点在圆上点在圆上；
3、点在圆外点在圆外；
方法点拨：要确定一个点和圆的位置关系，只需计算该点与圆心的距离，再与半径的大小作比较即可。
例如图，在中，直角边，，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆a的点在圆a的。
二、圆的对称性。
知识点 1圆的对称性。
圆是轴对称性图形，其中对称轴是任意一条过圆心的直线；
圆是中心对称图形，其对称中心为圆心；
圆具有旋转不变性，一个圆围绕它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。
方法点拨：圆有无数条对称轴，圆的对称轴是过圆心的每一条直线而不是圆的直径。
知识点 2与圆有关的概念。
弦：连接圆上任意两点的线段；直径：经过圆心的弦；弧：
圆上任意两点间的部分；同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆；等圆：圆心不同，直经相等的两个圆；等弧：
在同圆或等圆中，能够重合的弧；圆心角：顶点在圆心的角。
方法点拨：等弧的概念，一定要在同圆或等圆中，而不是弧长相等就行了。
知识点 3垂径定理及逆定理。
垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的弧。
知一得三”：知道一条直径垂直弦则必平分弦，并且平分弦所对的优、劣弧；知道一条直径平分一条非直径的弦，则该直径垂直弦并且平分弦所对的优、劣弧；知道一条直径平分一条弦所对的优（或劣）弧，则这条直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的劣（或优）弧。
方法点拨：垂径定理涉及垂直关系，所以在求有关弦长，弦心距或半径时，通常是做出圆心到弦的垂线，构成直角三角形求解。
例 p为⊙o内一点，op=3cm，⊙o半径为5cm，则经过p点的最短弦长为最长弦长为___
知识点 4圆心角、弧、弦、弦心距之间的定理及推论。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
三、圆心角和圆周角的关系。
知识点 1圆周角的定义。
顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。
方法点拨：判断圆周角时两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边必须与圆相交；两者缺一不可。
知识点 2圆周角定理。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
方法点拨：在计算圆心角与圆周角时，巧用圆周角定理可以帮助我们实现二者的转化，运用定理的前提是“同一条弧”。
知识点 3圆周角定理的推论。
推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等：
推论二：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
方法点拨：当题目中有直径时，常利用直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形求解。
例1 如图，在半径为5cm的⊙o中，圆心o到弦ab的距离为3cm，则弦ab的长是（ ）
a．4cm b．6cm c．8cm d．10cm
例2、如图，a、b、c、d是⊙o上的三点，∠bac=30°，则∠boc的大小是( )
a、60° b、45° c、30° d、15°
例3、mn是⊙o的直径，弦ab、cd相交于mn上的一点p，apm=∠cpm．由以上条件，你认为ab和cd大小关系是什么，请说明理由．
四、确定圆的条件。
知识点 1确定圆的条件。
要确定一个圆，需要确定圆的圆心和半径。经过一点可以确定无数个圆；经过平面上两点可以确定无数个圆；不在同一条直线上的三点确定一个圆。
方法点拨：在确定圆心和半径时，常用到线段的垂直平分线定理及其逆定理。
知识点 2三角形的外接圆和外心。
外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，而这个三角形称为这个圆的内接三角形。
注意：（1）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；（2）锐角三角形三边的中垂线的交点在三角形的内部，故锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形三边的中垂线的交点就是斜边的中点，故直角三角形的外心就是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。（p119随堂练习）
方法点拨：在求外接圆半径时，常与垂径定理，勾股定理联合使用。
五、直线和圆的位置关系。
知识点 1直线与圆的位置关系。
直线和圆的位置关系有三种。
1、当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。[**。
2、当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
3、当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做圆的切线；
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
知识点 2切线的性质定理和判断定理。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
注意：过圆上一点有且仅有一条切线。
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直经的直线是圆的切线。
说明：圆的切线必须具备两个条件：①经过直径的一段；②垂直于这条直径。
方法点拨：在证明切线时，常过圆心作直线的垂线；或连接圆心和直线与圆的交点，证明垂直等，作辅助线时，表述要清楚。
知识点 3三角形的内切圆和内心。
内切圆：和三角形的三边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。
三角形的内心：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点。
注意：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（2）过圆外一点可以作圆的两条切线，且圆外一点到两切点的距离相等。
方法点拨：三角形内切圆将三角形的三边分得3对相等的线段，由于内心又是三条角平分线的交点，从而可以利用角平分线的性质解题。
例1、 在中，bc=6cm，∠b=30°，∠c=45°，以a为圆心，当半径r多长时所作的⊙a与直线bc相切？相交？相离？
例2．如图，ab为⊙o的直径，c是⊙o上一点，d在ab的延长线上，且∠dcb=∠a．
1）cd与⊙o相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
2）若cd与⊙o相切，且∠d=30°，bd=10，求⊙o的半径．
六、圆和圆的位置关系。
知识点 1圆与圆的位置关系。
两圆的位置关系分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5） 无交点 ；
知识点 2两圆相切的位置。
如果两圆相切（内切或外切），那么两圆的连心线（经过两圆圆心的直线）必经过切点，即两圆圆心、切点三点共线。
方法点拨：由于相切两圆的连心线经过切点，所以涉及两圆切点的问题时，作连心线是一种常用的添加辅助线的方法。
知识点 3相交两圆的性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
方法点拨：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，这样就产生了直角三角形，我们可以根据直角三角形的知识进行求解。
例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点o，o′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜pq成一条直线，tp、np分别为两圆的切线，求∠tpn的大小．
例2．如图所示，⊙o的半径为7cm，点a为⊙o外一点，oa=15cm，求：（1）作⊙a与⊙o外切，并求⊙a的半径是多少？
2）作⊙a与⊙o相内切，并求出此时⊙a的半径．
七、弧长及扇形的面积
知识点 1弧长公式。
一个半径为r的圆，其圆周长为2πr，把整个圆整分成360个扇形，其中每个扇形的圆心角为1°，因此1°的圆心角所对的弧长是整个圆周的1/360,即，故在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长计算公式为。
知识点 2扇形面积公式。
弧长公式，所以，这个公式类似于三角形的面积公式，r相当于三角形的高，相当于三角形的底。
八、圆锥的侧面积。
圆锥侧面展开图（1）=；2）圆锥的体积：
例1．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
例2．操作与证明：如图所示，o是边长为a的正方形abcd的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在o处，并将纸板绕o点旋转，求证：正方形abcd的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
九年级圆基础知识点, 圆讲义
一对一授课教案。学员姓名 何锦莹 年级 9所授科目 数学。上课时间 年月日 时分至 时 分共 小时。板块一 圆的有关概念。一 圆的定义 1.描述性定义 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径 2 圆的表示方法 通常用符号表示...
九年级数学知识点总结 圆知识点辅导
1.垂径定理及推论 如图 有五个元素，知二可推三需记忆其中四个定理，即垂径定理中径定理弧径定理中垂定理。几何表达式举例 cd过圆心。cdab3.角 弦 弧 距定理 同圆或等圆中 等角对等弦等弦对等角等角对等弧等弧对等角等弧对等弦等弦对等 优，劣 弧等弦对等弦心距等弦心距对等弦。几何表达式举例 1 a...
九年级数学知识点总结 圆知识点辅导
1.垂径定理及推论 如图 有五个元素，知二可推三需记忆其中四个定理，即垂径定理中径定理弧径定理中垂定理。几何表达式举例 cd过圆心。cdab3.角 弦 弧 距定理 同圆或等圆中 等角对等弦等弦对等角等角对等弧等弧对等角等弧对等弦等弦对等 优，劣 弧等弦对等弦心距等弦心距对等弦。几何表达式举例 1 a...