第四章：《圆》
一、知识回顾。
圆的周长： c=2πr或c=πd 、圆的面积：s=πr
圆环面积计算方法：s=πr -πr或s=π（r - r）(r是大圆半径，r是小圆半径）
三、知识要点。
一、圆的概念。
集合形式的概念： 1、
第四章：《圆》
一、知识回顾。
圆的周长： c=2πr或c=πd 、圆的面积：s=πr
圆环面积计算方法：s=πr -πr或s=π（r - r）(r是大圆半径，r是小圆半径）
三、知识要点。
一、圆的概念。
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点o为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系。
1、点在圆内点在圆内；
2、点在圆上点在圆上；
3、点在圆外点在圆外；
三、直线与圆的位置关系。
1、直线与圆相离无交点；
2、直线与圆相切有一个交点；
3、直线与圆相交有两个交点；
四、圆与圆的位置关系。
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径弧弧 ⑤ 弧弧。
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
弧弧。六、圆心角定理。
顶点到圆心的角，叫圆心角。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；
；④ 弧弧。
七、圆周角定理。
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角。
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角。
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径或∵
是直径。推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
是直角三角形或。
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形。
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，四边形是内接四边形。
九、切线的性质与判定定理。
1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。
即：∵且过半径外端。
是⊙的切线。
2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线。
平分。十。
一、圆幂定理。
1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线。
4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线。
十。二、两圆公共弦定理。
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即∵⊙、相交于、两点 ∴垂直平。
十。三、圆的公切线。
两圆公切线长的计算公式：
1）公切线长：中，；
2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
十。四、圆内正多边形的计算。
1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
2）正四边形。
同理，四边形的有关计算在中进行，：
3）正六边形。
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十。五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式。
1、扇形：（1）弧长公式：；
2）扇形面积公式：
圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形面积。
2、圆柱：
1）a圆柱侧面展开图。
b圆柱的体积：
2）a圆锥侧面展开图。
b圆锥的体积：
第四章：《圆》
一、知识回顾。
圆的周长： c=2πr或c=πd 、圆的面积：s=πr
圆环面积计算方法：s=πr -πr或s=π（r - r）(r是大圆半径，r是小圆半径）
九年级数学知识点总结 圆知识点辅导
1.垂径定理及推论 如图 有五个元素，知二可推三需记忆其中四个定理，即垂径定理中径定理弧径定理中垂定理。几何表达式举例 cd过圆心。cdab3.角 弦 弧 距定理 同圆或等圆中 等角对等弦等弦对等角等角对等弧等弧对等角等弧对等弦等弦对等 优，劣 弧等弦对等弦心距等弦心距对等弦。几何表达式举例 1 a...
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