初三数学圆易错题。
例1 如图23-2，已知ab为⊙o直径，c为上一点，cd⊥ab于d，∠ocd的平分线cp交⊙o于p，试判断p点位置是否随c点位置改变而改变？
分析：要确定p点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察p点位置的变化，然后从中观察规律．
解：连结op，p点为中点．
小结：此题运用垂径定理进行推断．
例2 下列命题正确的是( )
a．相等的圆周角对的弧相等。
b．等弧所对的弦相等。
c．三点确定一个圆。
d．平分弦的直径垂直于弦．
解：a．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以a不正确．
b．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此b正确．
c．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．
d．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．
故选b．例3 四边形abcd内接于⊙o，∠a︰∠b︰∠c＝1︰2︰3，求∠d．
分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．
解：设∠a＝x，∠b＝2x，∠c＝3x，则∠d＝∠a＋∠c－∠b＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．
∠d＝90°．
小结：此题可变形为：四边形abcd外切于⊙o，周长为20，且ab︰bc︰cd＝1︰2︰3，求ad的长．
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得pa＝5cm，则铁环的半径是cm．
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过p点作直线op⊥pa，再用三角板画一个顶点为a、一边为ap、大小为60°的角，这个角的另一边与op的交点即为圆心o，再用三角函数知识求解．
解：小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．
例5 已知相交于a、b两点，的半径是10，的半径是17，公共弦ab＝16，求两圆的圆心距．
解：分两种情况讨论：
1)若位于ab的两侧(如图23-8)，设与ab交于c，连结，则垂直平分ab，∴．
又∵ab＝16
ac＝8．在中，．
在中，．故．
2)若位于ab的同侧(如图23-9)，设的延长线与ab交于c，连结．
垂直平分ab，．
又∵ab＝16，ac＝8．
在中，．在中，．
故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．
三、相关定理：
1.相交弦定理。
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：几何语言： 若弦ab、cd交于点p，则pa·pb=pc·pd（相交弦定理）
例1． 已知p为⊙o内一点，，⊙o半径为，过p任作一弦ab，设，，则关于的函数关系式为 。
解：由相交弦定理得，即，其中。
2.切割线定理。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若ab是直径，cd垂直ab于点p，则pc^2=pa·pb
例2． 已知pt切⊙o于t，pba为割线，交oc于d，ct为直径，若oc=bd=4cm，ad=3cm，求pb长。
解：设td=，bp=，由相交弦定理得：
即 ，（舍）
由切割线定理， 由勾股定理， ∴
四、辅助线总结。
1.圆中常见的辅助线。
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．
6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．
11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．
12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线。
1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2)．将割线、相交弦补充完整．
3)．作辅助圆．
例1如图23-10，ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为e，如果ab＝10，cd＝8，那么ae的长为( )
a．2 b．3
c．4 d．5
分析：连结oc，由ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab知cd＝de．设ae＝x，则在rt△ceo中，，即，则，(舍去)．
答案：a．例2如图23-11，ca为⊙o的切线，切点为a，点b在⊙o上，如果∠cab＝55°，那么∠aob等于( )
a．35° b．90°
c．110° d．120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠aob＝2∠bac＝2×55°＝110°．答案：c．
例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( )
a． b． cd．
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：b．
例4 如图23-12，在半径为4的⊙o中，ab、cd是两条直径，m为ob的中点，延长cm交⊙o于e，且em>mc，连结oe、de，．
求：em的长．
简析：(1)由dc是⊙o的直径，知de⊥ec，于是．设em＝x，则am·mb＝x(7－x)，即．所以．而em>mc，即em＝4．
例5如图23-13，ab是⊙o的直径，pb切⊙o于点b，pa交⊙o于点c，pf分别交ab、bc于e、d，交⊙o于f、g，且be、bd恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根．
1)求证：be＝bd；
2)若，求∠a的度数．
简析：(1)由be、bd是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故be＝bd．
2)由相交弦定理，得，即．而pb切⊙o于点b，ab为⊙o的直径，得∠abp＝∠acb＝90°．又易证∠bpd＝∠ape，所以△pbd∽△pae，△pdc∽△peb，则，，所以，所以．在rt△acb中，，故∠a＝60°．
九年级数学知识点总结 圆知识点辅导
1.垂径定理及推论 如图 有五个元素，知二可推三需记忆其中四个定理，即垂径定理中径定理弧径定理中垂定理。几何表达式举例 cd过圆心。cdab3.角 弦 弧 距定理 同圆或等圆中 等角对等弦等弦对等角等角对等弧等弧对等角等弧对等弦等弦对等 优，劣 弧等弦对等弦心距等弦心距对等弦。几何表达式举例 1 a...
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