专题23 圆与圆的位置关系。
阅读与思考】
两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质。
解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：
1.相交两圆作公共弦或连心线；
2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；
3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形。
熟悉以下基本图形和以上基本结论。
例题与求解】
例1】 如图，大圆⊙o的直径cm，分别以oa，ob为直径作⊙o1和⊙o2，并在⊙o与⊙o1和⊙o2的空隙间作两个等圆⊙o3和⊙o4，这些圆互相内切或外切，则四边形的面积为___cm2全国初中数学竞赛试题）
解题思路：易证四边形为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长。
例2】 如图，圆心为a，b，c的三个圆彼此相切，且均与直线相切。若⊙a，⊙b，c的半径分别为，，（则，，一定满足的关系式为（ ）
ab. cd.
天津市竞赛试题）
解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别**两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。
例3】 如图，已知两圆内切于点p，大圆的弦ab切小圆于点c，pc的延长线交大圆于点d.求证：
1）∠apd=∠bpd；
2天津市中考试题）
解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从ac·bc=pc·cd入手。
例4】 如图⊙o1和⊙o2相交于点a及b处，⊙o1的圆心落在⊙o2的圆周上，⊙o1的弦ac与⊙o2交于点d.求证：o1d⊥bc.
全俄中学生九年级竞赛试题）
解题思路：连接ab，o1b，o1c，显然△o1bc为等腰三角形，若证o1d⊥bc，只需证明o1d平分∠b o1c.充分运用与圆相关的角。
例5】 如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，ad=1,ab=2，dc=，点p在边bc上运动（与b，c不重合）.设pc=，四边形abpd的面积为。
1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
2）若以d为圆心，为半径作⊙d，以p为圆心，以pc的长为半径作⊙p，当为何值时，⊙d与⊙p相切？并求出这两圆相切时四边形abpd的面积河南省中考题）
解题思路：对于（2），⊙p与⊙d既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于的方程。
例6】 如图，abcd是边长为的正方形，以d为圆心，da为半径的圆弧与以bc为直径的半圆交于另一点p，延长ap交bc于点n，求的值全国初中数学联赛试题）
解题思路：ab为两圆的公切线，bc为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法。
能力与训练】
a 级。1.如图，⊙a，⊙b的圆心a，b在直线上，两圆的半径都为1cm.
开始时圆心距ab＝4cm，现⊙a，⊙b同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙a运动的时间为___秒。
宁波市中考试题）
2.如图，o2是⊙o1上任意一点，⊙o1和⊙o2相交于a，b两点，e为优弧ab上的一点，eo2及延长线交⊙o2于c，d，交ab于f，且cf＝1，ec＝2，那么⊙o2的半径为___
四川省中考试题）
第1题图第2题图第3题图）
3.如图，半圆o的直径ab＝4,与半圆o内切的动圆o1与ab切于点m.设⊙o1的半径为，am的长为，则与的函数关系是要求写出自变量的取值范围）
昆明市中考试题）
4.已知直径分别为和的两个圆，它们的圆心距为，这两圆的公切线的条数是。
5.如图，⊙o1和⊙o2相交于点a，b，且⊙o2的圆心o2在圆⊙o1的圆上，p是⊙o2上一点。已知∠a o1b＝60°，那么∠apb的度数是（ ）
a.60b.65c.70d.75°
甘肃省中考试题）
6.如图，两圆相交于a、b两点，过点b的直线与两圆分别交于c，d两点。若⊙o1半径为，⊙o2的半径为2，则ac：ad为（ ）
abcd.
第5题图第6题图第7题图）
7.如图，⊙o1和⊙o2外切于点t，它们的半径之比为3:2，ab是它们的外公切线，a，b是切点，ab＝，那么⊙o1和⊙o2的圆心距是（ ）
ab.10cd.
8.已知两圆的半径分别为r和（），圆心距为。若关于的方程有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（ ）
a.外切b.内切c.外离d.外切或内切
连云港市中考试题）
9.如图，⊙o1与⊙o2相交于a，b两点，点o1在⊙o2上，点c为⊙o1中优弧上任意一点，直线cb交⊙o2于d，连接o1d.
1）证明：do1⊥ac；
2）若点c在劣弧上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论。
（大连市中考试题）
图1图210.如图，已知⊙o1与⊙o2外切于点p，ab过点p且分别交⊙o1和⊙o2于点a，b，bh切⊙o2于点b，交⊙o1于点c，h.
1）求证：△bcp∽△hap；
2）若ap:pb＝3：2，且c为hb的中点，求ha:bc.
福州市中考试题）
11.如图，已知⊙b，⊙c的半径不等，且外切于点a，不过点a的一条公切线切⊙b于点d，切⊙c于点e，直线af⊥de，且与bc的垂直平分线交于点f.求证：bc＝2af.
（英国数学奥林匹克试题）
12.如图，ab为半圆的直径，c是半圆弧上一点。正方形defg的一边dg在直径ab上，另一边de过△abc得内切圆圆心o，且点e在半圆弧上。
1）若正方形的顶点f也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；
2）若正方形defg的面积为100，且△abc的内切圆半径，求半圆的直径ab.
（杭州市中考试题）
b 级。1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为___
2.如图，⊙o过m点，⊙m交⊙o于a，延长⊙o的直径ab交⊙m于c.若ab＝8，bc＝1，则am＝__
黑龙江省中考试题）
第2题图第3题图第4题图）
3.已知圆环内直径为cm，外直径为cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为cm.
4.如图，已知pq＝10，以pq为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点p.正方形abcd的顶点a，b在大圆上，小圆在正方形的外部且与cd切于点q.若ab＝，其中，为整数，则。
美国中学生数学邀请赛试题）
5.如图，正方形abcd的对角线ac，bd交于点m，且分正方形为4个三角形，⊙o1，⊙o2，⊙o3，⊙o4，分别为△amb，△bmc，△cmd，△dma的内切圆。已知ab＝1.
则⊙o1，⊙o2，⊙o3，⊙o4所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ）
ab. cd.
太原市竞赛试题）
（第5题图第6题图第7题图）
初中数学九年级《圆的专题复习》
圆的专题复习 复习。一 知识梳理 1.一条直线与圆相切的相关知识 2.两条直线与圆相切的相关知识 3.三条直线与圆相切的相关知识 二 互动和学 例1 如图，ab是 o的直径，bc是和 o相切于点b的切线，o的弦ad平行于oc 求证 dc是 o的切线 相应练习 已知 rt abc中，abc 90 以a...
九年级数学专题复习
一元二次方程与 每每型 问题。一 复习目标 1 知识与能力 1.掌握列 每每型 一元二次方程解应用题并求解 2.能根据问题中的实际意义，检验结果的合理性。2 过程与方法 联系实际，进一步经历 问题情境 建立模型 求解 检验 的过程，用方程思想 函数思想解决实际问题，获得用数学知识分析 解决实际问题的...
九年级数学专题复习
动态问题。学习目标。1 能够对点在运动变化过程中伴随的数量关系，图形位置关系等进行观摩研究。2 培养分类讨论及建模等数学思想，提高数形结合的能力，及对数学知识的综合应用能力，进一步发展 性学习。3 培养浓厚的学习兴趣，养成与他人交流的习惯。动手找点自主学习。1.如图，baf 32 动点c在直线ef上...