第十八章《勾股定理》小结与复习教案。
裴家营职业中学八年级数学备课组。
教学目标。1、知识与技能。
1. 回顾熟知勾股定理，勾股定理逆定理，理解它们的产生及证明过程，形成体系，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题。
2. 理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念，能写出一个命题的逆命题。
二、过程与方法。
1.经历勾股定理、勾股定理逆定理、逆命题等的应用和证明过程，体会数形结合、转。
化思想在解决数学问题中的作用，学会运用数学的方式解决实际问题。
2．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法．
3．在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神．
三、情感态度与价值观。
1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．
2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量．
3.感受数学的悠久历史和成就，感受数学的作用和魅力，热爱数学、努力学好数学。
教学重点。1．回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系．
2．体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．
教学难点。1．勾股定理及其逆定理的广泛应用．
2．建立本章的知识框架图，教学过程。
一、引入新课。
勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．
二、回顾与思考。
问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直角三角形的性质．现在我们来回答问题1，从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结．
生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．
生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是30°，那么30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：很好．我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程．随着以后的学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方．下面我们来看第2个问题．
问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．
生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．
例如：①在△abc中，∠b＝75°，∠c＝15°，根据三角形的内角和定理，可得∠a＝90°．根据定义可判断△abc是直角三角形．
在△abc中．∠a＝∠b＝∠c，由三角形的内角和定理可知∠a＋2∠a＋3∠a＝180°，所以∠a＝30°，∠b＝2∠a＝60°，∠c＝3∠a＝90°，△abc是直角三角形．
上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．
生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理)．
例如：①△abc的三条边分别为a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根据勾股定理的逆定理可知△abc是直角三角形．但这里要注意的是b所对的角∠b＝90°．
△abc三条边的比为a:b:c＝5:
12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△abc是直角三角形．
师：同学们对我们所学知识能很灵活地运用．在谈到应用这些知识的同时，我们不妨重温一下勾股定理的获得和验证的过程，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处．
生：勾股定理获得是从一些特例猜想得到的．我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，大正方形的面积是c2，两个小正方形的面积为a2、b2，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有a2＋b2＝c2这个结论呢？
师：这位同学的思路很好．勾股定理又是如何验证的呢？
生：先是又找了几个特例验证，发现这个结论正确。但我们不可能把所有的直角三角形都拿来验证，仅此说明它正确，又不可信．接下来．我们就用先人的方法——拼图，从一般意义上证明了勾股定理：
取四个全等的直角三角形，将它们拼摆，得到一个以斜边为边长的正方形，通过用两种方法表示拼出的整个图形的面积，找到相等关系，从而得到勾股定理．
师：在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了．掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽．
问题3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它．
这个问题可让学生在小组内先交流讨论，实例已由学生事先准备好，然后每组推荐一个最好的实例，展示给全班同学．在全班进行交流)
生：例如：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市a的正南方向260千米b处有一台风中心，沿bc的方向以15千米／时的速度向d移动，已知ad是城市a距台风中心的距离最短，且ad＝100千米，求台风中心经过多长时间从b点移到d点？
变式问题：a市受台风影响的时间有多长？
解：根据题意可知ad⊥bc．
在rt△abd中，ab＝260千米，ad＝100千米，ab2＝ad2＋bd2，所以bd2＝ab2－ad2＝2602－1002＝2402，bd＝240千米．则台风中心经过240千米÷15千米／时＝16(小时)从b点移到d点．
生：例如：一个长为10米的梯子斜靠在墙上．梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由．
解：根据题意，可知：下图中ab＝de＝10米，ac＝8米，ad＝2米，所以dc＝8－2＝6米．
在rt△abc中，bc2＝ab2－ac2＝102－82＝36，bc＝6米，在rt△cde中，ce2＝de2－cd2＝102－62＝82，ce＝8米，则be＝ce－cb＝8－6＝2米．
所以顶端向下滑动2米，底端也水平滑动2米．
师：我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集勾股定理史料．现在我们就来介绍一下你们收集到的有关勾股定理的史料吧．
问题4：你了解勾股定理的史料吗？
由于时间关系，对勾股定理的历史同学们可继续收集，交流、讨论．
三、课时小结。
通过回顾与思考中的问题的交流．由同学们自己建立本章的知识结构图．
板书设计。本章小结。
1．回顾与思考。
问题1：直角三角形的边，角之间分别存在什么关系？
在rt△abc中，∠c＝90°，则有∠a＋∠b＝90°，a2＋b2＝c2．
问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形？
在△abc中．①如果∠a＋∠b＝90°，则△abc是直角三角形．②如果a2＋b2＝c2，则△abc是直角三角形．
问题3：举生活实例，用勾股定理解决它．
例1．台风问题。
例2．梯子问题。
问题4：勾股定理史料。
2．本章知识结构图。
活动与**。
如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边ad，点d落在bc边的点f处，已知ad＝8cm，dc＝10cm，求ec的长．
过程：“折叠”问题是数学中常见问题之一．由折叠的过程可知．△afe≌△ade、ad＝af，dc＝ef，在rt△abf中，ab＝8cm，af＝10cm，bf2＝af2－ab2＝102－82＝62，bf＝6，fc＝bc－bf＝10－6＝4cm，如果设ce＝xcm，de＝(8－x)cm，所以ef＝(8－x)cm．
在rt△cef中，ef2＝cf2＋ce2，用这个关系就可建立关于x的方程．解出x便求得ce．
结果：解：根据题意，得。
8－x)2＝42＋x2
所以x＝3，即ce的长为3cm．
习题详解（略）
八年级数学勾股定理逆定理 一
勾股定理的逆定理 一 班级姓名。设计人 张言超审核人 吕莉日期编号。一 自学导航 认真学习课本p73 p75页的内容。学习目标 会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。一 课前学习。1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足那么这个三角形是。2 有关概念 1叫做互逆命题。如...
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