八年级数学勾股定理的证明及拓展

八年级数学。

勾股定理的证明及其延伸。

勾股定理是数学中一个重要知识。虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。

本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。

命题：在直角三角形中，a、b为直角边长，c为斜边边长，则有。

勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。如下图，我们使用4个同样大小的红色直角三角形（a、b为直角边长，c为斜边边长）拼出2个图形：

图1和图2这两个蓝色正方形的面积是相等的（它们的边长都是a+b），而4个红色直角三角形的面积也是相等的，所以2个图形中白色部分的面积也应该相等（都等于蓝色正方形面积减去4个红色三角形的面积）。而左边图形中白色部分的面积是，右边图形中白色部分的面积是，所以。

在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。

如图3，以bc为直径做圆，圆心为bc的中点o。在圆上任取一点a，则三角形abc为直角三角形，其中∠a=90°。

如图4，同样做圆。如果a点在圆外，则∠a为锐角。可以这样来证明：连接ao，和圆交与点d。容易得到∠bac<∠bdc，而∠bdc=90°，故∠a<90°。

如图5，同样做圆。如果a点在圆内，则∠a为钝角。可以这样来证明：连接oa，并延长和圆交与点d。容易得到∠bac>∠bdc，而∠bdc=90°，故∠a>90°。

综合起来，我们可以得到如下命题：

命题：在三角形abc中，以bc为直径、bc的中心点为圆心做圆，如果a在圆上，则∠a=90°；如果a在圆外，则∠a<90°；如果a在圆内，则∠a>90°。

注意，这个命题的逆命题也是成立的，即：

命题：在三角形abc中，以bc为直径、bc的中心点为圆心做圆，如果∠a=90°，则a在圆上；如果∠a<90°，则a在圆外；如果∠a>90°，则a在圆内。

这个逆命题可以利用上面几副图用反证法很容易证得。

现在，我们对勾股定理进行延伸，如下：

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果三角形为直角三角形，则；如果三角形为锐角三角形，则；如果三角形为钝角三角形，则。

请注意上面“c为最长边（c≥a、c≥b）”的条件限定。如果c不是最长边，那么必然是，这就不存在任何讨论的必要了。

下面我们来证明这一命题。对于直角三角形的情况，那就是勾股定理，前面我们已经证明了。现在只要证明锐角和钝角三角形的情况。

见下图，仍然如上一节那样，去最长边c为直径做圆（设这条边为bc），那么直径所对应的∠a也会是三角形abc中最大的角（大角对大边）。

从上节的讨论中，如果是锐角三角形，a必然在圆外，如图6所示。从a点做直径bc的垂线，交圆于d点。显然ab>bd、ac>dc，而，所以。

如果是钝角三角形，a必然在圆内，如图7所示。从a点做直径bc的垂线，反向延长交圆于d点。显然ab请注意，不会出现垂足落在圆上或圆外（即b点、c点以及bc的延长线上）的情况。

同理，用反证法很容易证得该命题的逆命题也是成立的。即：

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果，则三角形为直角三角形；如果，则三角形为锐角三角形；如果，则三角形为钝角三角形。

综合以上的讨论，我们可以对勾股定理进行增强型的表述，如下：

在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），则三角形为直角三角形的充分必要条件是；三角形为锐角三角形的充分必要条件是；三角形为钝角三角形的充分必要条件是。

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