§1.1探索勾股定理。
教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书。
授课教师：兰州市第五中学王凯。
一、教学目标：
1．知识与技能：用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2．数学思考： 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
3. 解决问题： 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
4．情感与态度：（1）在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气；
2）通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
二、教学重、难点等。
教学重点：探索和验证勾股定理。
教学难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理。
教学方法：交流——探索——猜想。
教具准备：1、学生课前准备若干张方格纸。
2、实物投影仪，彩色水笔，直尺或三角板等
三、教学过程：
一）提出问题：
引入：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？
问题转化为直角三角形中已知斜边和直角边求另一条直角边的问题，怎么办呢？这节课我们来共同探索直角三角形中三边之间的数量关系，来求得解决问题的途径。
二）实验操作：
1、问题串。
师]投影课本第2页图1-1和图1-2及问题（1）（2）（3）
学生1]在图1-1中，正方形a含9个小方格或者说正方形a的边长是3个单位长度，所以a的面积是9个单位面积；正方形b也含9个小方格，所以b的面积也是9个单位面积；正方形c可以把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形c共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积。
师]还可以如何求得正方形c的面积呢？
学生2]可以把正方形c分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，也可以算得c的面积为个单位面积。
学生3]如果把组成c的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现c在边长为6个单位长度的正方形中，并且c的面积恰好是这个正方形面积的一半，即个单位面积。
师]在图1-2中，正方形a，b，c中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
学生4] 图1-2与图1-1类似，所以可以用同样的方法观察求得a，b，c各含4个，4个，8个小方格，面积分别为4个，4个，8个单位面积。
师]你能发现图1-1中三个正方形a，b，c的面积之间有什么关系吗？图1-2中的呢？
学生5]c的面积 = a的面积 + b的面积。
师]很好！但是a，b，c的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图形，你能发现什么？
学生6]我们这节课主要研究直角三角形，而在这两个图中，都是三个正方形围着一个直角三角形。
师]的确如此，从图中我们可以发现：三个正方形好象是“长”在直角三角形的三边上。
学生7]这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的。
师]那么，结论 c是面积 = a的面积 + b的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以交流、讨论。
学生8]c是斜边上的正方形，所以c的面积是斜边的平方；a，b是两直角边上的正方形，所以a，b的面积分别是这两条直角边的平方。根据a，b，c的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两条直角边的平方和。
师]但是，我们也不难发现上面两个图中的直角三角形是等腰直角三角形。如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？
2、做一做。
师]投影课本第3页图1-3和图1-4及问题（1）（2）
让学生先独立思考，并在预先准备的方格纸上画出图形，再剪一剪，拼一拼，然后得出结论并填写问题（1）的**，最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积，即正方形c的面积的求法上多做交流）
师生共析]正方形c的面积的三种求法，仍然得c的面积 = a的面积 + b的面积。
师] 图1-3和图1-4中的三个正方形a，b，c也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能总结出三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？
学生9]图1-3中的正方形a，b，c的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，由图1-4也可以得出同样的结论。
三）归纳验证。
3、议一议。
师]通过对前面几个直角三角形的讨论、分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的发现并与同伴交流。
学生10] 在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方。
师]这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨做几个直角三角形检验一下。例如，作一个分别以1.
5cm，2.0cm为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？
学生11]（1）作一个直角∠mcn；
2）以c为圆心，分别以1.5cm，2.0cm为半径画弧交cm、cn于点a、b；
3）连结ab。用刻度尺量出斜边ab的长度（强调注意测量的误差）为2.5cm，经检验斜边，两直角边的平方和，即两条直角边的平方和就等于斜边的平方。
师]很好。同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形三边的关系。
师生共析]通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
4、读一读。
投影课本第5页《勾股世界》。
关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可以查阅有关这方面的资料。
如勾股定理——千古第一定理。
为什么说勾股定理如此重要是千古第一定理呢？除以上所述外，更重要的在于： （1）勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象——数与形的第一定理；
2）勾股定理导致无理数的发现，这就是所谓的第一次数学危机；
3）勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学；
4）勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范示。
所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智。
5、想一想。
师]小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？
你能解释这是为什么吗？
学生12]我听说过，29英寸或74厘米的电视机是指荧屏对角线的长度，而不是其长或宽。
学生13]可是，连结荧屏的对角线将长方形的荧屏分成全等的两个直角三角形。根据勾股定理，，可，这是为什么呢？
学生14]因为荧屏边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差。
师]的确如此，但这里我们要知道一个生活常识，29英寸（74厘米）指的是荧屏的对角线的长度，而非荧屏的长或宽。
四）问题解决。
开课时我们提出的问题，消防队员能否进入三楼灭火？用勾股定理可以计算得出消防队员恰好可以进入三楼灭火。
五）课堂小结。
学生回忆本节课所学内容，让学生从内容、应用、数学思想方法、获取新知的途径等方面叙述小结，然后教师总结。
六）布置作业。
课本第6页习题1.1 第题。
探索勾股定理》第一课时说课稿。
教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书。
授课教师：兰州市第五中学王凯。
课题：“探索勾股定理”第一课时。
内容：教材分析、教学过程设计、设计说明。
一、 教材分析。
一）教材所处的地位。
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
二）根据课程标准，本课的教学目标是：
1、 能说出勾股定理的内容。
2、 会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
3、 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、 通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
三）本课的教学重点：探索勾股定理。
本课的教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。
二、教法与学法分析：
教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：
提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
三、 教学过程设计。
一）提出问题：
首先创设这样一个问题情境：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.
5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？问题设计具有一定的挑战性，目的是激发学生的**欲望，教师引导学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。
学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学**于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。
二）实验操作：
1、投影课本图1—1，图1—2的有关直角三角形问题，让学生计算正方形a,b,c的面积，学生可能有不同的方法，不管是通过直接数小方格的个数，还是将c划分为4个全等的等腰直角三角形来求等等，各种方法都应予于肯定，并鼓励学生用语言进行表达，引导学生发现正方形a,b,c的面积之间的数量关系，从而学生通过正方形面积之间的关系容易发现对于等腰直角三角形而言满足两直角边的平方和等于斜边的平方。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。
2、接着让学生思考：如果是其它一般的直角三角形，是否也具备这一结论呢？于是投影图1—3，图1—4，同样让学生计算正方形的面积，但正方形c的面积不易求出，可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，在剪一剪，拼一拼后学生也不难发现对于一般的以整数为边长的直角三角形也有两直角边的平方和等于斜边的平方。
这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。
3、给出一个边长为1.5,2.0,2.5,这种含小数的直角三角形，让学生计算是否也满足这个结论，设计的目的是让学生体会到结论更具有一般性。
三）归纳验证：
1、归纳通过对边长为整数的等腰直角三角形到一般直角三角形再到边长含小数的直角三角形三边关系的研究，让学生用数学语言概括出一般的结论，尽管学生可能讲的不完全正确，但对于培养学生运用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的，同时发挥了学生的主体作用，也便于记忆和理解，这比教师直接教给学生一个结论要好的多。
2、验证为了让学生确信结论的正确性，引导学生在纸上任意作一个直角三角形，通过测量、计算来验证结论的正确性。这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度。然后引导学生用符号语言表示，因为将文字语言转化为数学语言是学习数学学习的一项基本能力。
接着教师向学生介绍“勾，股，弦”的含义、勾股定理，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形。最后向学生介绍古今中外对勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。
四）问题解决：
让学生解决开头的实际问题，前后呼应，学生从中能体会到成功的喜悦。完成课本“想一想”进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，数学是与实际生活紧密相连的。
五）课堂小结：
主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方法、获取新知的途径方面先进行小结，后由教师总结。
六）布置作业：
课本p6习题1.1 1，2，3，4一方面巩固勾股定理，另一方面进一步体会定理与实际生活的联系。另外，补充一道开放题。
四、 设计说明。
1、本节课是公式课，根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
2、探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般再到更一般的对直角三角形三边关系的研究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。
3、关于练习的设计，除两个实际问题和课本习题以外，我准备设计一道开放题，大致思路是在已画出斜边上的高的直角三角形中让学生尽量地找出线段之间的关系。
4、本课小结从内容，应用，数学思想方法，获取知识的途径等几个方面展开，既有知识的总结，又有方法的提炼，这样对于学生学知识，用知识的意识是有很大的促进的。
八年级数学探索勾股定理北师大版
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